Aufgaben zu Graph und Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen

Die folgenden Bilder zeigen die Funktionsgraphen einer Funktion der Form

f (x) = \frac{a}{x + b} + c_{}

Bestimme die Parameter $a$ , $b$ und $c$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = 0$ liegt. Die Hyperbel wurde also nicht nach oben oder unten verschoben.
$\Rightarrow c = 0$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = 0$ . Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
$\Rightarrow b = 0$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 Längeneinheit nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 1$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f (x) = \frac{a}{x + 0} + 0 = \frac{a}{x}$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\begin{array}{rcl} P (1 | 1) \Rightarrow f (1) & = & 1 \\ \frac{a}{1} & = & 1 \\ a & = & 1 \end{array}$
Lösung
$a = 1$ , $b = 0$ und $c = 0$
$\Rightarrow f (x) = \frac{1}{x}$
Der Graph einer Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = 2$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 2 Längeneinheiten nach oben verschoben.
$\Rightarrow c = 2$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = 0$ . Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
$\Rightarrow b = 0$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 Längeneinheit nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 4$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f (x) = \frac{a}{x + 0} + 2 = \frac{a}{x} + 2$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\begin{array}{rrcl} P (1 | 6) \Rightarrow & f (1) & = & 6 \\ \frac{a}{1} + 2 & = & 6 & | - 2 \\ a & = & 4 \end{array}$
Lösung
$a = 4$ , $b = 0$ und $c = 2$
$\Rightarrow f (x) = \frac{4}{x} + 2$
Der Graph einer Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = - 2$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 2 nach unten verschoben.
$\Rightarrow c = - 2$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = - 3$ . Die Hyperbel wurde also um 3 nach links verschoben.
$\Rightarrow b = 3$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 1$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f (x) = \frac{a}{x + 3} - 2$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\begin{array}{rcl} P (- 2 | - 1) \Rightarrow f (- 2) & = & - 1 \\ \frac{a}{- 2 + 3} - 2 & = & - 1 \\ \frac{a}{1} & = & 1 \\ a & = & 1 \end{array}$
Lösung
$a = 1$ , $b = 3$ und $c = - 2$
$\Rightarrow f (x) = \frac{1}{x + 3} - 2$
Der Graph einer Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = 0$ liegt. Die Hyperbel wurde also nicht nach oben oder unten verschoben.
$\Rightarrow c = 0$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = 0$ . Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
$\Rightarrow b = 0$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 2$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f (x) = \frac{a}{x + 0} + 0 = \frac{a}{x}$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\begin{array}{rcl} P (1 | 2) \Rightarrow f (1) & = & 2 \\ \frac{a}{1} & = & 2 \\ a & = & 2 \end{array}$
Lösung
$a = 2$ , $b = 0$ und $c = 0$
$\Rightarrow f (x) = \frac{2}{x}$
Der Graph einer Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = 1$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 1 nach oben verschoben.
$\Rightarrow c = 1$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = - 5$ . Die Hyperbel wurde also um 5 nach links verschoben.
$\Rightarrow b = 5$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = - 1$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f (x) = \frac{a}{x + 5} + 1$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\begin{array}{rrcl} P (- 4 | 0) \Rightarrow & f (- 4) & = & 0 \\ \frac{a}{- 4 + 5} + 1 & = & 0 & | - 1 \\ \frac{a}{1} & = & - 1 \\ a & = & - 1 \end{array}$
Lösung
$a = - 1$ , $b = 5$ und $c = 1$
$\Rightarrow f (x) = \frac{- 1}{x + 5} + 1$
Der Graph einer Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagerechte Asymptote bei $y = 3$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 3 nach oben verschoben.
$\Rightarrow c = 3$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = 6$ . Die Hyperbel wurde also um 6 nach rechts verschoben.
$\Rightarrow b = - 6$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 2$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f (x) = \frac{a}{x - 6} + 3$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\begin{array}{rrcl} P (7 | 5) \Rightarrow & f (7) & = & 5 \\ \frac{a}{7 - 6} + 3 & = & 5 & | - 3 \\ \frac{a}{1} & = & 2 \\ a & = & 2 \end{array}$
Lösung
$a = 2$ , $b = - 6$ und $c = 3$
$\Rightarrow f (x) = \frac{2}{x - 6} + 3$
Der Graph einer Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.