Aufgaben zu Umfängen von Figuren mit Halb- und Viertelkreisen

Die Figur setzt sich aus mehreren Figuren zusammen.

Sie besteht aus dem hier grünen Kreis, dem blauen Halbkreis und den beiden orangen Halbkreisen. Der Umfang der Figur setzt sich aus den Umfängen der bunten Kreisteile zusammen.

Die allgemeine Formel zur Berechnung des Kreisumfangs ist:

Berechne nun die Umfänge $U_{\text{grün}}$, $U_{\text{blau}}$ und $U_{\text{orange}}$.

$U_{\text{grün}}$ ist der Umfang eines Kreises mit einem Radius von $\mathrm{1,5}\text{cm}$.

$\begin{array}{l}{U}_{\text{grün}}=2\pi \cdot \mathrm{1,5}\text{cm}\\ =\pi \cdot 3\text{cm}\\ \approx \mathrm{3,14}\cdot 3\text{cm}\\ =\mathrm{9,42}\text{cm}\end{array}$

$U_{\text{blau}}$ ist der Umfang eines Halbkreises, von dem die Längen der angrenzenden orangen Schnittlinien abgezogen werden müssen. Der Umfang des blauen Objekts besteht aus dem halben Umfang eines ganzen Kreises und der Länge der unteren Seite minus $2\cdot 1\text{cm}=2\text{cm}$. Die untere Seite ist $7\text{cm}$ lang. Das ist außerdem auch der Durchmesser des Halbkreises. Somit ist der Radius des Halbkreises $7\text{cm}:2=\mathrm{3,5}\text{cm}$.

$\begin{array}{l}{U}_{\text{blau}}=\frac{1}{2}\cdot 2\pi \cdot \mathrm{3,5}\text{cm}+(7\text{cm}-2\text{cm})\\ =\pi \cdot \mathrm{3,5}\text{cm}+(7\text{cm}-2\text{cm})\\ \approx \mathrm{3,14}\cdot \mathrm{3,5}\text{cm}+5\text{cm}\\ =\mathrm{10,99}\text{cm}+5\text{cm}\\ =\mathrm{15,99}\text{cm}\end{array}$

$U_{\text{orange}}$ sind zwei Halbkreise mit dem gleichen Durchmesser von $1\text{cm}$. Deren Umfang ist der gleiche wie der eines ganzen Kreises mit Durchmesser $1\text{cm}$. Der Radius beträgt hier $\mathrm{0,5}\text{cm}$. Die obere Seite der Halbkreise müssen wir nicht berechnen, da sie an den blauen Halbkreis angrenzen.

$\begin{array}{l}{U}_{\text{orange}}=2\pi \cdot \mathrm{0,5}\text{cm}\\ =\pi \cdot 1\text{cm}\\ \approx \mathrm{3,14}\cdot 1\text{cm}\\ =\mathrm{3,14}\text{cm}\end{array}$

Der Gesamtumfang setzt sich nun aus der Summe der Umfänge $U_{\text{grün}}$, $U_{\text{blau}}$ und $U_{\text{orange}}$ zusammen.

$\begin{array}{rclll}{U}_{\text{Gesamt}}& =& U_{\text{grün}}& +U_{\text{blau}}& +U_{\text{orange}}\\ & \approx & \mathrm{9,42}\text{cm}& +\mathrm{15,99}\text{cm}& +\mathrm{3,14}\text{cm}& \\ & =& \mathrm{28,55}\text{cm}& & \end{array}$

Der Gesamtumfang der Figur beträgt in etwa $\mathrm{28,55}\text{cm}$.