Aufgaben zu den Kongruenzsätzen für Dreiecke

Bei dem Trapez handelt es sich um ein symmetrisches Trapez, die Symmetrieachse siehst du im oberen Bild orange eingezeichnet.

Du kannst erkennen, dass die Strecken $[AE]$ und $[FB]$ gleich lang sind, die selbe Länge besitzen auch die Strecken $[AD]$ und $[BC]$, außerdem sind die Winkel $\angle DAE$ und $\angle FBC$ gleich groß.

Wenn du jetzt den SWS-Satz auf die Dreiecke $AED$ und $FBC$ anwendest, dann erkennst du, dass sie kongruent sind.

Jetzt kannst du dir noch die anderen Dreiecke ansehen, die in dem Trapez vorkommen. Sie befinden sich in der Mitte im Rechteck $EFCD$. Du kannst leicht erkennen, dass keins der Dreiecke dort kongruent zu einem der beiden äußeren ($AED$ und $FBC$) ist.

Du weißt, dass bei einem Rechteck die beiden Winkelhalbierenden gleich lang sind. Das heißt, die Strecken $[EG]$, $[FG]$, $[CG]$ und $[DG]$ sind gleich lang.

Die Strecken $[DC]$ und $[EF]$ sind ebenfalls gleich lang. Damit besitzen die Dreiecke $EFG$ und $GCD$ überall genau die selben Seitenlängen, sie sind also kongruent.

Das selbe gilt auch noch für die Dreiecke $EGD$ und $FCG$, sie sind ebenfalls kongruent zueinander.

Hier siehst du nochmal das ursprüngliche Trapez, die kongruenten Dreiecke sind dabei jeweil in der gleichen Farbe abgebildet:

Um zu erkennen, dass das $\text{rote}$ und das $\text{lila}$ Dreieck kongruent sind, kannst du den SWS-Satz verwenden. Beide Dreiecke haben Seiten der Länge $3\text{cm}$ und $4\text{cm}$ und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel beträgt bei beiden $90°$.

Das $\text{grüne}$ und $\text{orange}$ Dreieck sind auch kongruent. Bei beiden Dreiecken hast du jeweils zwei Winkel und die dazwischenliegende Seitenlänge gegeben. Die Winkel und die Seitenlänge stimmen auch überein. Hier gilt also der WSW-Satz.

Beim $\text{türkisen}$ und $\text{schwarzen}$ Dreieck hast du jeweils alle drei Seitenlängen gegeben. Weil diese alle miteinander übereinstimmen, kannst du mit dem SSS-Satz feststellen, dass sie kongruent sind.

Bei beiden Dreiecken hast du auch jeweils alle Winkel gegeben, du könntest statt dem SSS-Satz also auch einen beliebigen anderen Kongruenzsatz verwenden, um festzustellen, dass die Dreiecke kongruent sind.

Das $\text{grüne}$ und $\text{lila}$ Dreieck sind nicht kongruent. Da der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüber liegt, ist beim $\text{grünen}$ Dreieck die Seite gegenüber dem Winkel $\mathrm{51,34}°$ länger als $4\text{cm}$. Aber beim $\text{lilanen}$ Dreieck hast du als Seitenlänge einmal $4\text{cm}$ und einmal $3\text{cm}$ gegeben. Somit stimmen die Seiten der beiden Dreiecke nicht überein und die Dreiecke sind nicht kongruent zueinander.