Mathe Geometrie Räumliche Figuren Wichtige Grundkörper Schwierigere Aufgaben zu einzelnen Grundkörpern

Aufgaben zu Volumen und Oberflächenberechnung

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Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b = 2 a$ . Die Höhe der Pyramide beträgt $h = 1,5 a$ .

Berechne die Kantenlängen als Vielfache von $a$ .

Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide in Vielfachen von $a^{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide

Berechnung der Länge der Diagonalen $d$

Bestimme die Länge der Diagonalen $d$ des Rechtecks mit dem Satz des Pythagoras.

$d^{2}$	$=$	$a^{2} + {(2 a)}^{2}$
$d^{2}$	$=$	$5 a^{2}$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$d$	$=$	$\pm \sqrt{5} a$

Das negative Ergebnis kannst du vernachlässigen, da Längen nur positiv sein können $\Rightarrow d = \sqrt{5} a$

Berechnung der Kantenlänge $k$

Berechne die Länge der Kante $k$ mit dem Satz des Pythagoras.

$k^{2}$	$=$	$h^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2}$
	↓	Setze $d = \sqrt{5} a$ und $h = 1,5 a$ ein.
$k^{2}$	$=$	${(\frac{3}{2} a)}^{2} + {(\frac{\sqrt{5}}{2} a)}^{2}$
	↓	Vereinfache.
$k^{2}$	$=$	$\frac{14}{4} a^{2}$	$\sqrt{}$
$k$	$=$	$\pm \frac{\sqrt{14}}{2} a$

Das negative Ergebnis kannst du wieder vernachlässigen, da Längen nur positiv sein können $\Rightarrow k = \frac{\sqrt{14}}{2} a$

Bestimmung des Oberflächeninhalts der Pyramide

Die Oberfläche der Pyramide $O_{Pyramide}$ besteht aus der Fläche der Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$ . Die Grundfläche $G$ ist ein Rechteck. Die Mantelfläche $M$ besteht aus 4 Dreiecksflächen, von denen je 2 der Dreicksflächen (und zwar die Gegenüberliegenden) gleich groß sind. Hier sind die Dreicksflächen als $m_{1}$ und $m_{2}$ bezeichnet.

$\begin{array}{rcllc} O_{Pyramide} & = & G & + & M \\ = & G & + & 2 \cdot m_{1} + 2 \cdot m_{2} \end{array}$

Bestimme erstmal die Grundfläche $G$ .

$\begin{array}{l} G = b \cdot a \\ = 2 a \cdot a \\ = 2 a^{2} \end{array}$

Um die Mantelfläche zu bestimmen benötigst du die Höhen der Dreiecksflächen. Sie heißen hier $h_{1}$ und $h_{2}$ . Bestimme $h_{1}$ und $h_{2}$ mit dem Satz des Pythagoras.

$h_{1}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$	$=$	$k^{2}$	$- {(\frac{a}{2})}^{2}$
$h_{1}^{2}$	$=$	$k^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}$
$h_{1}^{2}$	$=$	$\frac{14}{4} a^{2} - \frac{1}{4} a^{2}$
$h_{1}^{2}$	$=$	$\frac{13}{4} a^{2}$	$\sqrt{}$
$h_{1}$	$=$	$\pm \frac{\sqrt{13}}{2} a$

Da Längen nur positiv sein können, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen $\Rightarrow h_{1} = \frac{\sqrt{13}}{2} a$

$h_{2}^{2} + a^{2}$	$=$	$k^{2}$	$- a^{2}$
$h_{2}^{2}$	$=$	$k^{2} - a^{2}$
$h_{2}^{2}$	$=$	$\frac{14}{4} a^{2} - a^{2}$
$h_{2}^{2}$	$=$	$\frac{10}{4} a^{2}$	$\sqrt{}$
$h_{2}$	$=$	$\pm \frac{\sqrt{10}}{2} a$

Da Längen nur positiv sein können, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen $\Rightarrow h_{2} = \frac{\sqrt{10}}{2} a$

Jetzt kannst du die Dreiecksflächen berechnen.

$\begin{array}{l} m_{1} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{1} \\ = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} a \\ = \frac{\sqrt{13}}{4} a^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} m_{2} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot \frac{\sqrt{10}}{2} a \\ = \frac{\sqrt{10}}{2} a^{2} \end{array}$

Jetzt lässt sich die Oberfläche bestimmen.

$\begin{array}{rcl} O_{Pyramide} & = & G + 2 \cdot m_{1} + 2 \cdot m_{2} \\ = & 2 a^{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{13}}{4} a^{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{10}}{2} a^{2} \\ = & (2 + \frac{\sqrt{13}}{2} + \sqrt{10}) a^{2} \\ \approx & 6,97 a^{2} \end{array}$

Der Oberflächeninhalt der Pyramide beträgt in etwa $6,97 a^{2}$ .

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Aufgaben zu Volumen und Oberflächenberechnung

Berechnung der Länge der Diagonalen d

Berechnung der Kantenlänge k

Bestimmung des Oberflächeninhalts der Pyramide

Berechnung der Länge der Diagonalen $d$

Berechnung der Kantenlänge $k$