Gemischte Aufgaben zu Ungleichungen

Ermitteln Sie, in welchen Bereichen der Funktionsgraph ober- bzw. unterhalb der x-Achse verläuft:

$f (x) = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2}}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Bei einer gebrochen rationalen Funktion muss man aufpassen, wann sich das Vorzeichen im Nenner und wann das Vorzeichen im Zähler verändert.

Prinzipiell gilt: das Gesamtvorzeichen ist positiv, wenn der Zähler und Nenner dasselbe Vorzeichen haben, bei unterschiedlichen Vorzeichen ist das Gesamtvorzeichen negativ.

Betrachte zuerst den Nenner ${(x^{2} + x + 1)}^{2}$ . Da am Ende quadriert wird, ist dieser immer größer gleich 0. Du kannst dir auch überlegen, dass er nie 0 ist:

wenn du versuchst, die Nullstellen mit der Mitternachtsformel zu bestimmen, erhältst du

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 3}}{2}

Da es keine Lösung gibt, hat der Nenner keine Nullstelle und ist immer positiv.

Um zu bestimmen, wann der Zähler das Vorzeichen wechselt, bestimmen wir zunächst dessen Nullstellen.

$\begin{array}{l} x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2} \overset{\underset{!}{}}{=} 0 \\ x^{2} \cdot (x^{2} + 2 x + 3) \overset{\underset{!}{}}{=} 0 \end{array}$

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Hier kann der Zähler Null sein, wenn $x^{2} = 0$ ist, also bei $x = 0$ . Der andere Faktor $(x^{2} + 2 x + 3)$ kann jedoch nicht null werden. Versuchst du die Nullstellen mit der Mitternachtsformel auszurechen, merkst du, dass der unter der Wurzel (die Determinante) etwas Negatives rauskommt.

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 8}}{2}

Also hat die Funktion f(x) nur eine Nullstelle bei $x = 0$ und kann nur dort die x Achse überschreiten.

Setze $- 1$ in die Funktion ein:

f (- 1) = \frac{(- 1)^{4} + 2 (- 1)^{3} + 3 (- 1)^{2}}{{((- 1)^{2} + (- 1) + 1)}^{2}} = \frac{1 - 2 + 3}{{(1 - 1 + 1)}^{2}} = 2 > 0

Damit ist die Funktion für alle Werte kleiner als die Nullstelle positiv und oberhalb der x Achse. Um zu überprüfen, welches Vorzeichen du erhälst, wenn du rechts von der Nullstelle bist, setze eine Zahl die größer als die Nullstelle ist, in die Funktion ein. $1$ bietet sich hier an.

f (1) = \frac{1^{4} + 2 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2}}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}} = \frac{1 + 2 + 3}{{(1 + 1 + 1)}^{2}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} > 0

Also ist die Funktion auch auf der rechten Seite der Nullstelle positiv.

Die Funktion ist somit immer überhalb der $x$ -Achse.

Dasselbe Ergebnis erhälst du auch, wenn du nachweist, dass $x^{2} + 2 x + 3$ (z.B. für $x = 0$ ) positiv ist. Der Term hat ja keine Nullstellen und daher immer dasselbe Vorzeichen. Weil $x^{2}$ positiv ist, hat $f (x)$ nur für $x = 0$ den Wert Null und ist sonst immer positiv, d.h. der Graph verläuft oberhalb der $x$ -Achse.

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