Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Die maximale Definitionsmenge und die Gleichung der Tangente einer Funktion in einem vorgegebenen Punkt sind zu bestimmen.

Lösung Teilaufgabe a)

Für die Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs $D_g$ der Wurzelfunktion

gilt die Bedingung, dass der Term $x+1$ unter der Wurzel (der "Radikand") nicht negativ wird.

"nicht negativ" ist gleichwertig mit "größer oder gleich Null".

Löse also folgende Ungleichung:

$\begin{array}{rcll}x+1& \ge & 0& |-1\\ x& \ge & -1& \end{array}$

Der maximale Definitionsbereich $D_g$ kann somit folgendermaßen angegeben werden:

$D_g=\{x|x\ge -1\}$ oder so:$D_g=[-1;+\infty [$

Lösung Teilaufgabe b)

Bestimme die 2. Koordinate des Punktes $(8|g(8))$:

$g(8)=\sqrt{8+1}-2=1$.

Die Gleichung der Tangente soll also im Punkt $P(8|1)$ aufgestellt werden.

Bilde die 1.Ableitung $g^{\prime }$ von $g$:

$$\begin{array}{rcll}g(x)& =& {\displaystyle (x+1{)}^{\frac{1}{2}}-2}& |\text{Benutze die Potenz- und die Kettenregel}\\ g^{\prime }(x)& =& {\displaystyle \frac{1}{2}(x+1{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 1-0}& \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+1{)}^{\frac{1}{2}}}}& \\ g^{\prime }(x)& =& {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}& \end{array}$$

Im Punkt $P(8|1)$ hat die gesuchte Tangente die Steigung

$$g^{\prime }(8)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{8+1}}=\frac{1}{6}}$$

Ein Ansatz für die Gleichung der Tangente lautet dann:

Setze den Punkt $(8|1)$ ein, um $m$ zu berechnen:

$$1={\displaystyle \frac{8}{6}+m\Rightarrow m=-\frac{1}{3}}$$.

Damit lautet die gesuchte Tangente: