Aufgaben zur Betragsfunktion

$f (x) = 3 \cdot (x^{2} - 4) \cdot (| x | + 1)$

Untersuche $f (x)$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktion betragsfrei machen
$f (x) = 3 \cdot (x^{2} - 4) (| x | + 1)$
Um den Betrag zu eliminieren muss eine Fallunterscheidung ( für x $\geq$ 0 und x < 0 durchgeführt werden.
Fall x $\geq$ 0
Da x $\geq$ 0 ist, kann der Betrag weggelassen werden.
$f (x)$ $=$ $3 \cdot (x^{2} - 4) (x + 1)$
↓
Die Klammern ausmultiplizieren.
$=$ $3 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 12$
Fall x<0
Da x < 0 ist wird -x für $| x |$ eingesetzt.
$f (x)$ $=$ $3 \cdot (x^{2} - 4) (- x + 1)$
↓
Die Klammern ausmultiplizieren.
$=$ $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 12$
Stetigkeit
Für x>0 und x<0 ist f(x) stetig.
Untersucht werden muss nur der Fall x=0.
f(0) berechnen mit Fall x $\geq$ 0
$f (x)$ $=$ $3 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 12$
$f (0)$ $=$ $- 12$
Annäherung an 0 von links
$\lim_{x \to 0^{-}} f (x)$ $=$
↓
Es muss der Term ausgewählt werden, der für x<0 gilt.
$=$ $\lim_{x \to 0^{-}} (- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 12)$
↓
0 einsetzen.
$=$ $- 12$
Annäherung an 0 von rechts
$\lim_{x \to 0^{+}} f (x)$ $=$
↓
Es muss der Term ausgewählt werden, der für x>0 gilt.
$=$ $\lim_{x \to 0^{+}} (3 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 12)$
↓
0 einsetzen.
$=$ $- 12$
$\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0) \Rightarrow$ f ist bei 0 stetig .
Differenzierbarkeit
$f (x) = 3 \cdot (x^{2} - 4) (| x | + 1)$
Es muss eine Fallunterscheidung für x durchgeführt werden.
Fall: x $\geq$ 0
Siehe Teilaufgabe a.
$f (x)$ $=$ $3 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 12$
↓
Erste Ableitung bilden.
$f ‘ (x)$ $=$ $9 x^{2} + 6 x - 12$
Fall: x<0
Siehe Teilaufgabe a.
$f (x)$ $=$ $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 12$
↓
Erste Ableitung bilden.
$f ´ (x)$ $=$ $- 9 x^{2} + 6 x + 12$
Fall x=0
Das Verhalten der Steigung an der Stelle x=0 muss wegen des Betrages gesondert untersucht werden. Hierzu muss man für diesen Punkt die Ableitung durch Annäherung von links und rechts betrachten.
Bei Annäherung von links, muss $f ‘ (x) = - 9 x^{2} + 6 x + 12$ betrachtet werden, da x<0.
$\lim_{x \to 0^{-}} (- 9 x^{2} + 6 x + 12)$ $=$ $12$
↓
Bei Annäherung von rechts, muss $f ‘ (x) = 9 x^{2} + 6 x - 12$ betrachtet werden, da x>0.
$\lim_{x \to 0^{+}} (9 x^{2} + 6 x - 12)$ $=$ $- 12$
$\Rightarrow$ Nicht differenzierbar, da $\lim_{x \to 0^{-}} f^{'} (x) \neq \lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x)$

Bestimme die Nullstellen der Funktion.

Bestimme die Wendepunkte und Art und Lage der Extrempunkte der Funktion.
Untersuche das Symmetrieverhalten des Graphen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
$f (x)$ $=$ $3 \cdot (x^{2} - 4) \cdot (| x | + 1)$
↓
-x für x einsetzen.
$f (- x)$ $=$ $3 \cdot ({(- x)}^{2} - 4) \cdot (| - x | + 1)$
$f (- x)$ $=$ $3 \cdot (x^{2} - 4) \cdot (| x | + 1)$
$f (- x)$ $=$ $f (x)$
$f (- x) = f (x)$ $\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur y-Achse
Alle weiteren Informationen findest Du linksoben unter "Was muss ich beachten?"
Hilfe zu den Funktionen des Editors findest Du oben rechts.

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$3 \cdot (x^{2} - 4) (x + 1)$	$=$	$0$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel um $x^{2} - 4$ aufzulösen.
$3 \cdot (x + 2) (x - 2) (x + 1)$	$=$	$0$
	↓	Lies die Nullstellen aus den Linearfaktoren ab.
$x_{1}$	$=$	$- 2$
$x_{2}$	$=$	$2$
	↓	Nur $x_{2} = 2$ ist hier eine gültige Lösung, da >0.
$x_{3}$	$=$	$- 1$

$3 \cdot (x^{2} - 4) (- x + 1)$	$=$	$0$
	↓	Benutze die 3. Binomische Formel um $x^{2} - 4$ aufzulösen.
$3 \cdot (x + 2) (x - 2) (- x + 1)$	$=$	$0$
	↓	Lies die Nullstellen aus den Linearfaktoren ab.
$x_{1}$	$=$	$- 2$
	↓	Nur $x_{1} = - 2$ ist hier eine gültige Lösung, da <0.
$x_{2}$	$=$	$2$
$x_{3}$	$=$	$1$

$f (x)$	$=$	$3 \cdot (x^{2} - 4) (x + 1)$
	↓	Die Klammern ausmultiplizieren.
	$=$	$3 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 12$

$\lim_{x \to 0^{-}} f (x)$	$=$
	↓	Es muss der Term ausgewählt werden, der für x<0 gilt.
	$=$	$\lim_{x \to 0^{-}} (- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 12)$
	↓	0 einsetzen.
	$=$	$- 12$

$\lim_{x \to 0^{+}} f (x)$	$=$
	↓	Es muss der Term ausgewählt werden, der für x>0 gilt.
	$=$	$\lim_{x \to 0^{+}} (3 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 12)$
	↓	0 einsetzen.
	$=$	$- 12$

$f (x)$	$=$	$3 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 12$
	↓	Erste Ableitung bilden.
$f ‘ (x)$	$=$	$9 x^{2} + 6 x - 12$

$f (x)$	$=$	$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 12$
	↓	Erste Ableitung bilden.
$f ´ (x)$	$=$	$- 9 x^{2} + 6 x + 12$

$\lim_{x \to 0^{-}} (- 9 x^{2} + 6 x + 12)$	$=$	$12$
	↓	Bei Annäherung von rechts, muss $f ‘ (x) = 9 x^{2} + 6 x - 12$ betrachtet werden, da x>0.
$\lim_{x \to 0^{+}} (9 x^{2} + 6 x - 12)$	$=$	$- 12$

$f (x)$	$=$	$3 \cdot (x^{2} - 4) \cdot (\| x \| + 1)$
	↓	-x für x einsetzen.
$f (- x)$	$=$	$3 \cdot ({(- x)}^{2} - 4) \cdot (\| - x \| + 1)$
$f (- x)$	$=$	$3 \cdot (x^{2} - 4) \cdot (\| x \| + 1)$
$f (- x)$	$=$	$f (x)$

Aufgaben zur Betragsfunktion

Fall x ≥ 0

Fall x<0

Stetigkeit

f(0) berechnen mit Fall x ≥ 0

Annäherung an 0 von links

Annäherung an 0 von rechts

Differenzierbarkeit

Fall: x ≥ 0

Fall: x<0

Fall x=0

Fall: x ≥ 0

Fall: x<0

Fall x $\geq$ 0

f(0) berechnen mit Fall x $\geq$ 0

Fall: x $\geq$ 0

Fall: x $\geq$ 0