Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

Bestimme die Schnittmenge der in Parameter- und Normalenform gegebenen Ebenen.

$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ und
$E_{2} : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ - 6 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \end{array})] = 0$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Zunächst muss die Koordinatenform der Ebene $E_{2}$ gebildet werden. Dazu ist das Skalarprodukt aus Normalenvektor ${\vec{n}}_{2}$ und dem Differenzvektor zu bilden:
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ - 6 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ - 6 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \end{array}) = 0$
$\Rightarrow 2 x_{1} - 3 x_{2} - 6 x_{3} - (8 - 12 - 18) = 0$
Daraus folgt die Koordinatenform:
$E_{2} : 2 x_{1} - 3 x_{2} - 6 x_{3} + 22 = 0$
Die Parameterform von $E_{1}$ besteht aus 3 Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ . Diese werden an die Stelle der 3 Koordinaten in $E_{2}$ eingesetzt:
$2 \cdot (1 + 3 r + 0 s) - 3 \cdot (4 + 2 r - 2 s) - 6 \cdot (2 + 0 r + s) + 22 = 0$
Die Klammern werden aufgelöst und passende Terme werden zusammengefasst:
$2 + 6 r - 12 - 6 r + 6 s - 12 - 6 s + 22 = 0 \Rightarrow 0 = 0$
Das Ergebnis war: $0 = 0$ . Das ist offensichtlich eine wahre Aussage. Unabhängig von den Werten der Parameter $r$ und $s$ entsteht immer eine wahre Aussage. Daher müssen die Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ identisch sein.
Wandle $E_{2}$ in Koordinatenform um. Nun können die drei Koordinaten (Zeilen) der Gleichung in Parameterform, also $E_{1}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ eingesetzt werden. Nach der Vereinfachung der Gleichung kann daran abgelesen werden, welche Lagebeziehung vorliegt!
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array})$ und $E_{2} : (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Der allgemeine Ortsvektor der Ebene $E_{1}$ wird in die Ebene $E_{2}$ eingesetzt.
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})] = 0$
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array})] = 0$
2) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) = 0$
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
$(2 \cdot (- 2) + (- 3) \cdot 2 + 1 \cdot 0) + r \cdot (2 \cdot 2 + (- 1) \cdot (- 3) + (- 2) \cdot 1) + s \cdot (2 \cdot 2 + 1 \cdot (- 3) + 4 \cdot 1) = 0$
$(- 4 - 6 + 0) + r \cdot (4 + 3 - 2) + s \cdot (4 - 3 + 4) = 0$
$(I^{'}) : - 10 + 5 r + 5 s = 0$
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung $(I^{'})$ mit den beiden Parametern $r$ und $s$ erhalten. Diese Gleichung kannst Du nach einem der beiden Parameter auflösen, hier z.B. nach $s$ .
$(I^{''}) : s = 2 - r$
Du kannst nun die Gleichung $(I^{''})$ in die Ebenengleichung $E_{1}$ einsetzen:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + (2 - r) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}) =$
$(\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + (- r) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}) =$
$(\begin{array}{c} - 1 + 4 \\ 2 + 2 \\ 1 + 8 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 - 2 \\ - 1 - 1 \\ - 2 - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$
Du hast die Parameterform einer Geraden erhalten.
Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ ist eine Gerade mit der Gleichung: $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_{1}$ in die Normalenform der Ebene $E_{2}$ ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
2) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ und
$E_{2} : (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ - 7 \end{array})] = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Zunächst muss die Koordinatenform der Ebene $E_{2}$ gebildet werden. Rechne das Skalarprodukt aus.
$E_{2} : (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ \vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ - 7 \end{array}) = 0$
Daraus folgt die Koordinatenform:
$E_{2} : 0 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} - 2 = 0$
Für jede Koordinate $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ wird nun die entsprechende Zeile aus der Parameterform der Gleichung $E_{1}$ eingesetzt. (Beim Lösen von Gleichungen würde das als Einsetzverfahren bezeichnet werden.)
Setze $x_{1} = 0$ ; $x_{2} = - 1 + r + s$ und $x_{3} = 0$ in $E_{2}$ ein:
$1 \cdot (- 1 + r + s) - 2 = 0$
Die Klammer wird ausmultipliziert und die Gleichung wird nach dem Parameter $r$ aufgelöst:
$r = 3 - s$
Durch Einsetzen dieser Beziehung $r = 3 - s$ in $E_{1}$ kann ein Parameter eliminiert werden. Es ergibt sich so die Parameterform einer Geraden.
Die Schnittmenge der beiden Ebenen ist also eine Gerade.
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + (3 - s) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow$
$\vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + 3 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow$
$\vec{x} = (\begin{array}{c} 8 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
Beginne damit die Ebene $E_{2}$ in die Koordinatenform umzuwandeln. Dann kannst du die Ebene $E_{1}$ in $E_{2}$ einsetzen und den Parameter finden, welcher zur Schnittgeraden führt.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$ und $E_{2} : (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \circ \vec{x} - 4 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Die Ebene $E_{2}$ in Koordinatenform lautet: $3 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3} - 4 = 0$
Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.
$x_{1} = 1 + r - s; x_{2} = - 1 - r + 2 s$ und $x_{3} = 3 - r - s$
Einsetzen in $E_{2}$ :
$3 \cdot (1 + r - s) + 2 \cdot (- 1 - r + 2 s) + 1 \cdot (3 - r - s) - 4 = 0$
Die Klammern werden aufgelöst und passende Terme werden zusammengefasst:
$3 + 3 r - 3 s - 2 - 2 r + 4 s + 3 - r - s - 4 = 0 \Rightarrow 0 = 0$
Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die Ebenen identisch sind. (Die Ebenen liegen aufeinander.)
Einsetzen von $E_{1}$ in $E_{2}$ , den Parameter finden und einsetzen, um eine Schnittgerade zu bestimmen.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ - 1 \end{array})$ und $E_{2} : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) \circ \vec{x} - 3 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lage zweier Ebenen
Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen
1) Wandle $E_{2}$ in die Koordinatenform um.
Rechne das Skalarprodukt aus.
$E_{2} : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - 3 = 0 \Rightarrow 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} - 2 \cdot x_{3} - 3 = 0$
2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.
$x_{1} = 2 + r + 2 s, x_{2} = 1 + r - 4 s, x_{3} = 1 + r - s$
3) Setze die Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ ein.
$1 \cdot (2 + r + 2 s) + 1 \cdot (1 + r - 4 s) - 2 \cdot (1 + r - s) - 3 = 0$
Löse die Klammern auf und fasse zusammen. Du erhälst folgende Gleichung:
$0 \cdot r + 0 \cdot s - 2 = 0 \Rightarrow - 2 = 0$
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung $- 2 = 0$ erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle $E_{2}$ in die Koordinatenform um.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.
3) Setze die Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ ein.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
$E_{1} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ und $E_{2} : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ \vec{x} - 5 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lage zweier Ebenen
Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen
1) Wandle $E_{2}$ in die Koordinatenform um.
Rechne das Skalarprodukt aus.
$E_{2} : (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - 5 = 0 \Rightarrow 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3} - 5 = 0$
2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.
$x_{1} = 1 + 2 r + s, x_{2} = 3 + r - s, x_{3} = 1 + s$
3) Setze die Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ ein.
$1 \cdot (1 + 2 r + s) + 1 \cdot (3 + r - s) + 1 \cdot (1 + s) - 5 = 0$
Löse die Klammern auf und fasse zusammen. Du erhälst folgende Gleichung:
$5 + 3 r + s - 5 = 0 \Rightarrow s = - 3 r$
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Setze nun die Gleichung $s = - 3 r$ in die Ebenengleichung $E_{1}$ ein und fasse zusammen:
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + (- 3 r) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
$= (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 - 3 \\ 1 + 3 \\ 0 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ - 3 \end{array})$
Du hast die Parameterform einer Geraden erhalten.
Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ ist eine Gerade mit der Gleichung $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ - 3 \end{array})$
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle $E_{2}$ in die Koordinatenform um.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.
3) Setze die Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ ein.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

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Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

1) Der allgemeine Ortsvektor der Ebene $E_{1}$ wird in die Ebene $E_{2}$ eingesetzt.

2) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ ist eine Gerade mit der Gleichung: $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$

Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.

Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen

1) Wandle $E_{2}$ in die Koordinatenform um.

2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.

3) Setze die Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ ein.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.

Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen

1) Wandle $E_{2}$ in die Koordinatenform um.

2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.

3) Setze die Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ ein.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ ist eine Gerade mit der Gleichung $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ - 3 \end{array})$

Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

1) Der allgemeine Ortsvektor der Ebene E1 wird in die Ebene E2 eingesetzt.

2) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen E1 und E2 ist eine Gerade mit der Gleichung: g:x→=(349)+r⋅(0−2−6)

Lies aus der Parameterform der Ebene E1 die Gleichungen für die Koordinaten x1, x2 und x3 ab.

Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen

1) Wandle E2 in die Koordinatenform um.

2) Lies aus der Parameterform der Ebene E1 die Gleichungen für die Koordinaten x1, x2 und x3 ab.

3) Setze die Gleichungen für x1, x2 und x3 in die Koordinatenform von E2 ein.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die beiden Ebenen E1​ und E2 sind parallel zueinander.

Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen

1) Wandle E2 in die Koordinatenform um.

2) Lies aus der Parameterform der Ebene E1 die Gleichungen für die Koordinaten x1, x2 und x3 ab.

3) Setze die Gleichungen für x1, x2 und x3 in die Koordinatenform von E2 ein.

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen E1​ und E2 ist eine Gerade mit der Gleichung g:x→=(131)+r⋅(−14−3)

1) Der allgemeine Ortsvektor der Ebene $E_{1}$ wird in die Ebene $E_{2}$ eingesetzt.

Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ ist eine Gerade mit der Gleichung: $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$

Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.

1) Wandle $E_{2}$ in die Koordinatenform um.

2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.

3) Setze die Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ ein.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.

1) Wandle $E_{2}$ in die Koordinatenform um.

2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_{1}$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ ab.

3) Setze die Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ in die Koordinatenform von $E_{2}$ ein.

Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen $E_{1} $ und $E_{2}$ ist eine Gerade mit der Gleichung $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ - 3 \end{array})$