Aufgaben zum Ableiten von Wurzelfunktionen

Leite folgende Funktionen ab.

$f (x) = \sqrt[3]{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelfunktion

Forme die Wurzelfunktion in eine Potenzfunktion mit rationalen Exponenten um.

$f (x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$

$f ´ (x)$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot x^{- \frac{2}{3}}$
	↓	Da der Exponent negativ ist, kannst du den Term mit dem Potenzgesetz für negative Exponenten in einen Bruch umformen.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$
	↓	Multipliziere die beiden Brüche.
	$=$	$\frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{2}}$

Die Ableitung von $f (x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ ist also $f^{'} (x) = \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}$ .

$h (x) = 8 \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelfunktion

Forme die Wurzelfunktion in eine rationale Potenzfunktion um.

$h (x) = 8 \cdot \sqrt[4]{x^{3}} = 8 \cdot x^{\frac{3}{4}}$

$h ´ (x)$	$=$	$8 \cdot \frac{3}{4} \cdot x^{\frac{3}{4} - 1}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$8 \cdot \frac{3}{4} \cdot x^{- \frac{1}{4}}$
	↓	Zieh den Faktor $8$ auf den Zähler.
	$=$	$\frac{8 \cdot 3}{4} \cdot x^{- \frac{1}{4}}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
	$=$	$\frac{24}{4} \cdot x^{- \frac{1}{4}}$
	↓	Kürze den Bruch mit dem Faktor $4$ .
	$=$	$6 \cdot x^{- \frac{1}{4}}$
	↓	Da der Exponent negativ ist, kannst du den Term mit dem Potenzgesetz zu negativen Exponenten in einen Bruch umformen.
	$=$	$6 \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$6 \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$
	↓	Ziehe den Faktor $6$ in den Zähler.
	$=$	$\frac{6}{\sqrt[4]{x}}$

Die Ableitung von $h (x) = 8 \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$ ist also $h^{'} (x) = \frac{6}{\sqrt[4]{x}}$ .

$k (x) = \sqrt{9 x^{3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelfunktion

$k (x)$	$=$	$\sqrt{9 x^{3}}$
	↓	Forme die Wurzelfunktion in eine rationale Potenzfunktion um.
	$=$	${(9 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleichem Exponenten an.
	$=$	$9^{\frac{1}{2}} \cdot {(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\sqrt{9} \cdot {(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$
	↓	Radiziere $9$ .
	$=$	$3 \cdot {(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu mehrfachen Exponenten an.
	$=$	$3 \cdot x^{3 \cdot \frac{1}{2}}$
	↓	Multipliziere im Exponenten.
	$=$	$3 \cdot x^{\frac{3}{2}}$

$k (x)$	$=$	$\sqrt{9 x^{3}}$
	↓	Teile den Wurzelterm auf.
	$=$	$\sqrt{9} \cdot \sqrt{x^{3}}$
	↓	Radiziere $9$ .
	$=$	$3 \cdot \sqrt{x^{3}}$
	↓	Forme die Wurzelfunktion in eine Potenzfunktion mit rationalem Exponenten um.
	$=$	$3 \cdot {(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu mehrfachen Exponenten an.
	$=$	$3 \cdot x^{3 \cdot \frac{1}{2}}$
	↓	Verrechne den Exponenten.
	$=$	$3 \cdot x^{\frac{3}{2}}$

$k ´ (x)$	$=$	$3 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$3 \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1^{}}{2}}$
	↓	Multipliziere die Faktoren $3$ und $\frac{3}{2}$ .
	$=$	$\frac{9}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\frac{9}{2} \cdot \sqrt{x}$

Die Ableitung von $k (x) = \sqrt{9 x^{3}}$ ist also $k^{'} (x) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt{x}$ .

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$g ´ (x)$	$=$	$\frac{5}{4} \cdot x^{\frac{5}{4} - 1}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\frac{5}{4} \cdot x^{\frac{1}{4}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\frac{5}{4} \sqrt[4]{x}$