Aufgaben zur Quotientenregel

Variante 1

Nutze zunächst das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleicher Basis, um den Ausdruck zu vereinfachen.

$f(z)=-2\cdot z^4\cdot z$

$\phantom{g(x)}=-2z^5$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen. Der Faktor $-2$ bleibt aufgrund der Faktorregel unverändert.

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(z)& =-2\cdot 5\cdot z^4\\ & \\ & =-10z^4\end{array}$

Zum Schluss musst du die Faktoren vor dem $z^4$ verrechnen.

Variante 2

Eine weitere Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen, ist das Anwenden der Produktregel.

$f^{\prime }(z)=-2\cdot 4\cdot z^3\cdot z+(-2)\cdot z^4\cdot 1$

Fasse den Term weiter zusammen.

$\phantom{g^{\prime }(x)}=-8z^4-2z^4$

$\phantom{g^{\prime }(x)}=-10z^4$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $f^{\prime }(z)=-10z^4$ ist.

Variante 1

Leite die Funktion mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab.

$g^{\prime }(t)=8\cdot (-2)\cdot t^{-3}=-16\cdot t^{-3}$

Variante 2

Mit Hilfe des Potenzgesetzes zu negativen Exponenten kannst du den Term auch als Bruch schreiben.

$g(t)=8\cdot t^{-2}={\displaystyle \frac{8}{t^2}}$

Jetzt kannst du die Quotientenregel anwenden.

$g^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{t^2\cdot 0-2\cdot t\cdot 8}{t^4}}$

Vereinfache nun den Zähler noch weiter.

$\phantom{f^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{-16t}{t^4}}$

Kürze den Zähler und Nenner mit $t$.

$$\phantom{f^{\prime }(x)}={\displaystyle -\frac{16}{t^3}}$$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $g^{\prime }(t)=-\frac{16}{t^3}=-16\cdot t^{-3}$ ist.

Variante 1

Kürze zunächst den Zähler und Nenner des ersten Bruchs des Termes mit $x^2$.

$\begin{array}{rcl}h(u)& =& \frac{u^2}{u^3}+1-\frac{1}{u}\\ & =& \frac{1}{u}+1-\frac{1}{u}\\ & =& 1\end{array}$

Vereinfache den Term noch weiter.

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$h^{\prime }(u)=0$

Variante 2

Eine weiter Möglichkeit ist, jeden Summanden für sich abzuleiten. Nutze bei dem ersten und letzten Summanden die Quotientenregel.

$h^{\prime }(u)={\displaystyle \frac{u^3\cdot 2\cdot u-u^2\cdot 3\cdot u^2}{u^6}}+0-{\displaystyle \frac{u\cdot 0-1\cdot 1}{u^2}}$

$\phantom{f^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{2u^4-3u^4}{u^6}}+{\displaystyle \frac{1}{u^2}}$

Fasse die Zähler noch weiter zusammen.

$\phantom{f^{\prime }(x)}=-{\displaystyle \frac{u^4}{u^6}}+{\displaystyle \frac{1}{u^2}}$

Kürze den ersten Bruch mit $u^4$.

$\phantom{f^{\prime }(x)}=-{\displaystyle \frac{1}{u^2}}+{\displaystyle \frac{1}{u^2}}=0$

Die Ableitung ist bei beiden Varianten an allen Stellen gleich $0$ (Nullfunktion).

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Variante 1

Im Zähler der Funktion findest du die dritte binomische Formel.

Stelle den Term im Zähler zunächst in Klammerschreibweise dar.

$$k(x)={\displaystyle \frac{4x^2-1}{2x-1}}$$

$\phantom{i(x)}$$\phantom{f(x)}={\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot (2x+1)}{2x-1}}$

Hier kannst du im Zähler und Nenner den Term $2x-1$ kürzen.

$\phantom{f(x)}=2x+1$

Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.

$k^{\prime }(x)=2$

Variante 2

Du kannst die Funktion auch mit Hilfe der Quotientenregel ableiten und fasse den Zähler noch weiter zusammen:

$k^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot 4\cdot 2\cdot x-2\cdot (4x^2-1)}{(2x-1{)}^2}}$

Multipliziere die $2$ mit der $4$.

$\phantom{i^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{(2x-1)\cdot 8x-2\cdot (4x^2-1)}{(2x-1{)}^2}}$

Multipliziere die $8x$ und $2$ jeweils in die Klammern.

$\phantom{i^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{16x^2-8x-(8x^2-2)}{(2x-1{)}^2}}$

Löse die Klammer auf.

$\phantom{i^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{16x^2-8x-8x^2+2}{(2x-1{)}^2}}$

Fasse $16x^2$ und $-8x^2$ weiter zusammen.

$\phantom{i^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{8x^2-8x+2}{(2x-1{)}^2}}$

$\phantom{i^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{2\cdot (4x^2-4x+1)}{(2x-1{)}^2}}$

Klammere im Zähler eine $2$ aus.

Im Zähler der Funktion findest du die zweite binomische Formel.

Wenn du den Term im Zähler in Klammerschreibweise darstellst, kannst du Nenner und Zähler bis auf die $2$ vollständig kürzen.

$k^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2\cdot (4x^2-4x+1)}{(2x-1{)}^2}}$

$\phantom{i^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{2\cdot (2x-1{)}^2}{(2x-1{)}^2}}$

$\phantom{i^{\prime }(x)}=2\cdot 1$

$\phantom{i^{\prime }(x)}=2$

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $k^{\prime }(x)=2$ ist.

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Variante 1

Löse die Aufgabe mit Hilfe der Produktregel und Summenregel.

$l^{\prime }(v)={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2(v)}}\cdot \sin (v)+\tan (v)\cdot \cos (v)-\sin (v)$

Multipliziere $\sin (v)$ in den Zähler des Bruchs und forme $\tan (v)$ um.

$\phantom{k^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{\sin (v)}{{\cos }^2(v)}}+{\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}\cdot \cos (v)-\sin (v)$

Kürze $\cos (v)$ und schreibe ${\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}$ als $\tan (v)$.

$\phantom{k^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}+\sin (v)-\sin (v)$

$\phantom{k^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}$

Verrechne beide $\sin (v)$.

Variante 2

Überlege dir, welche Beziehungen du zwischen dem Tangens und dem Sinus bzw. dem Kosinus kennst und vereinfache die Funktion zunächst.

$l(v)=\tan (v)\cdot \sin (v)+\cos (v)$

Schreibe $\tan (v)$ als ${\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}$.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}\cdot \sin (v)+\cos (v)$

Multipliziere $\sin (v)$ in den Zähler des Bruchs.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{{\sin }^2(v)}{\cos (v)}}+\cos (v)$

Bringe $\cos (v)$ auf den selben Nenner.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{{\sin }^2(v)}{\cos (v)}}+{\displaystyle \frac{{\cos }^2(v)}{\cos (v)}}$

Addiere beide Brüche.

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{{\sin }^2(v)+{\cos }^2(v)}{\cos (v)}}$

$\phantom{k(x)}={\displaystyle \frac{1}{\cos (v)}}$

Wende den Trigonometrischen Pythagoras an.

Jetzt kannst du die Funktion mit Hilfe der Quotientenregel ableiten.

$l^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\cos (v)\cdot 0-(-\sin (v))\cdot 1}{{\cos }^2(v)}}$

Fasse den Zähler noch weiter zusammen.

$\phantom{k^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{\sin (v)}{{\cos }^2(v)}}$

$\phantom{k^{\prime }(x)}={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}$

Schreibe ${\displaystyle \frac{\sin (v)}{\cos (v)}}$ als $\tan (v)$.

Man erkennt, dass das Ergbnis in beiden Fällen $l^{\prime }(v)={\displaystyle \frac{\tan (v)}{\cos (v)}}$ ist.

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