Aufgaben zur Trigonometrie

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit a=b.

a = 44,2cm
c = 63,4cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Berechne die Höhe des Dreiecks.
Wende den Satz des Pythagoras an, um die Höhe zu berechnen.
$h_{c} = \sqrt{b^{2} - {(\frac{1}{2} c)}^{2}} \approx 30,802 c m$
Berechne nun $α, β$ und $γ$ mithilfe von Sinus oder Cosinus.
$\sin (α)$ $=$ $\frac{h_{c}}{b}$
$α$ $\approx$ $44,177 °$
oder:
$\cos (α)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{b}$
$α$ $=$ $44,177 °$
$\sin (β)$ $=$ $\frac{h_{c}}{α}$
$β$ $\approx$ $44,177 °$
$\cos (β)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{a}$
$β$ $=$ $44,177 °$
Addiere die zwei Winkel und subrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .
$γ$ $=$ $180 ° - 2 \cdot 44,177 °$
$γ$ $=$ $91,646 °$
alternativ:
$\cos (\frac{1}{2} γ)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{a}$
$\frac{1}{2} γ$ $\approx$ ${45,8}^{°}$
$γ$ $\approx$ ${45,8}^{\circ} \cdot 2 = {91,6}^{\circ}$
oder:
$\sin (\frac{1}{2} γ)$ $=$ $\frac{h_{c}}{a}$
$\frac{1}{2} γ$ $=$ $45,8 °$
$γ$ $=$ $2 \cdot 45,8 ° = 91,6 °$
a = 114,5m
$α$ = 32,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Berechne die Seite c des Dreiecks:
Verwende den Cosinus , um die Basis des Dreiecks zu berechnen,
$\cos (α)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{b}$ $\cdot b$
$\cos (32,3 °) \cdot 114,5 m$ $=$ $\frac{1}{2} c$ $\cdot 2$
$2 \cdot (\cos (32,3 °) \cdot 114,5 m)$ $=$ $c$
$c$ $\approx$ $193,565$
Berechne die Höhe des Dreiecks:
Verwende dafür den Sinus .
$\sin (α)$ $=$ $\frac{h_{c}}{b}$ $\cdot b$
$\sin (32,3 °) \cdot 114,5 m$ $=$ $h_{c}$
$h_{c}$ $=$ $61,183 m$
↓
Berechne die zwei fehlenden Winkel mithilfe von Sinus oder Cosinus
$\cos (β)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{a}$
$β$ $=$ $32,3 °$
$\sin (β)$ $=$ $\frac{h}{a}$
$β$ $=$ $32,3 °$
↓
Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .
$γ$ $=$ $180 ° - 2 \cdot 32,3 °$
$γ$ $=$ $115,4 °$
alternativ:
$\cos (\frac{1}{2} γ)$ $=$ $\frac{h_{c}}{b}$
$\frac{1}{2} γ$ $=$ $57,25 °$
$γ$ $=$ $115,4 °$
$\sin (\frac{1}{2} γ)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{b}$
$\frac{1}{2} γ$ $=$ $57,25 °$ $\cdot 2$
$γ$ $=$ $115,4$
c = 35,4cm
$β$ = 43,9°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Berechne die Seiten a und b des Dreiecks.
Verwende den Cosinus , um die zwei Katheten auszurechnen,
$\cos (β)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{a}$ $\cdot a : \cos (β)$
$a$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} \cdot 35,4 c m}{\cos (43,9 °)}$
$a$ $=$ $24,565 c m$
$=$ $b$
Berechne die Höhe des Dreiecks:
Verwende hierfür den Sinus .
$\sin (β)$ $=$ $\frac{h_{c}}{a}$ $\cdot a$
$h_{c}$ $=$ $\sin (43,9 °) \cdot 24,565 c m$
$h_{c}$ $=$ $17,033 c m$
↓
Berechne die zwei fehlenden Winkel mit Sinus oder Cosinus .
$\cos (α)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{b}$
$α$ $=$ $43,9 °$
oder:
$\sin (α)$ $=$ $\frac{h_{c}}{b}$
$α$ $=$ $43,9 °$
↓
Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck, um den letzen Winkel zu berechnen.
$γ$ $=$ $180 ° - 2 \cdot 43,9 °$
$=$ $92,2 °$
alternativ:
$\cos (\frac{1}{2} γ)$ $=$ $\frac{h_{c}}{b}$
$\frac{1}{2} γ$ $=$ $46,1 °$ $\cdot 2$
$γ$ $=$ $92,2 °$
$\sin (\frac{1}{2} γ)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{b}$
$\frac{1}{2} γ$ $=$ $46,1 °$ $\cdot 2$
$γ$ $=$ $92,2 °$
$h_{c}$ = 14,8cm
$α$ = 28,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Berechne die Seiten a und b des Dreiecks:
Verwende hierfür den Sinus .
$\sin (α)$ $=$ $\frac{h_{c}}{b}$ $\cdot b : \sin (α)$
$b$ $=$ $\frac{14,8 c m}{\sin (28,3 °)}$
$b$ $=$ $31,218$
$=$ $a$
Berechne die Seite c des Dreicks.
Verwende hierfür den Cosinus .
$\cos (α)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{b}$ $\cdot b$
$\cos (28,3 °) \cdot 31,218 c m$ $=$ $\frac{1}{2} c$ $\cdot 2$
$c$ $=$ $54,973 c m$
↓
Berechne die fehlenden Winkel mithilfe von Cosinus oder Sinus ,
$\cos (β)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{a}$
$β$ $=$ $28,3 °$
oder:
$\sin (β)$ $=$ $\frac{h_{c}}{a}$
$β$ $=$ $28,3 °$
↓
Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck , um den letzten Winkel auszurechnen.
$γ$ $=$ $180 ° - 2 \cdot 28,3 °$
$γ$ $=$ $123,4 °$
alternativ:
$\cos (\frac{1}{2} γ)$ $=$ $\frac{h_{c}}{b}$
$\frac{1}{2} γ$ $=$ $61,7 °$ $\cdot 2$
$γ$ $=$ $123,4 °$
oder:
$\sin (\frac{1}{2} γ)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{b}$
$\frac{1}{2} γ$ $=$ $61,7 °$ $\cdot 2$
$γ$ $=$ $123,4 °$
a = 146,4m
$h_{c}$ = 58,4m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Berechne den Winkel $α$ .
Verwende hierfür den Sinus ,
$\sin (α)$ $=$ $\frac{h_{c}}{b}$
$α$ $=$ ${23,51}^{\circ}$
Berechne nun die Seite c mithilfe des Cosinus .
$\cos (α)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{b}$ $\cdot b$
$\frac{1}{2} c$ $=$ $\cos (α) \cdot b$
$\frac{1}{2} c$ $=$ $134,25 m$ $\cdot 2$
$c$ $=$ $268,5 m$
Berechne die fehlenden Winkel mithilfe von Sinus oder Cosinus .
$\cos (β)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{a}$
$β$ $=$ ${23,51}^{\circ}$
oder:
$\sin (β)$ $=$ $\frac{h_{c}}{a}$
$β$ $=$ ${23,51}^{\circ}$
Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .
$γ$ $=$ $180^{\circ} - 2 \cdot {23,51}^{\circ}$
$=$ ${132,98}^{\circ}$
alternativ:
$\cos (\frac{1}{2} γ)$ $=$ $\frac{h_{c}}{b}$
$\frac{1}{2} γ$ $=$ ${66,49}^{\circ}$ $\cdot 2$
$γ$ $=$ ${132,98}^{\circ}$
oder:
$\sin (\frac{1}{2} γ)$ $=$ $\frac{\frac{1}{2} c}{b}$
$\frac{1}{2} γ$ $=$ ${66,49}^{\circ}$ $\cdot 2$
$γ$ $=$ ${132,98}^{\circ}$

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CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann → Was bedeutet das? serlo.org

$\cos (\frac{1}{2} γ)$	$=$	$\frac{\frac{1}{2} c}{a}$
$\frac{1}{2} γ$	$\approx$	${45,8}^{°}$
$γ$	$\approx$	${45,8}^{\circ} \cdot 2 = {91,6}^{\circ}$

$\sin (\frac{1}{2} γ)$	$=$	$\frac{h_{c}}{a}$
$\frac{1}{2} γ$	$=$	$45,8 °$
$γ$	$=$	$2 \cdot 45,8 ° = 91,6 °$

$\cos (α)$	$=$	$\frac{\frac{1}{2} c}{b}$	$\cdot b$
$\cos (32,3 °) \cdot 114,5 m$	$=$	$\frac{1}{2} c$	$\cdot 2$
$2 \cdot (\cos (32,3 °) \cdot 114,5 m)$	$=$	$c$
$c$	$\approx$	$193,565$

$\sin (α)$	$=$	$\frac{h_{c}}{b}$	$\cdot b$
$\sin (32,3 °) \cdot 114,5 m$	$=$	$h_{c}$
$h_{c}$	$=$	$61,183 m$
	↓	Berechne die zwei fehlenden Winkel mithilfe von Sinus oder Cosinus

$\sin (β)$	$=$	$\frac{h}{a}$
$β$	$=$	$32,3 °$
	↓	Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck .

$\cos (β)$	$=$	$\frac{\frac{1}{2} c}{a}$	$\cdot a : \cos (β)$
$a$	$=$	$\frac{\frac{1}{2} \cdot 35,4 c m}{\cos (43,9 °)}$
$a$	$=$	$24,565 c m$
	$=$	$b$

$\sin (β)$	$=$	$\frac{h_{c}}{a}$	$\cdot a$
$h_{c}$	$=$	$\sin (43,9 °) \cdot 24,565 c m$
$h_{c}$	$=$	$17,033 c m$
	↓	Berechne die zwei fehlenden Winkel mit Sinus oder Cosinus .

$\sin (α)$	$=$	$\frac{h_{c}}{b}$
$α$	$=$	$43,9 °$
	↓	Addiere die zwei Winkel und subtrahiere sie von der Winkelsumme im Dreieck, um den letzen Winkel zu berechnen.

$\sin (α)$	$=$	$\frac{h_{c}}{b}$	$\cdot b : \sin (α)$
$b$	$=$	$\frac{14,8 c m}{\sin (28,3 °)}$
$b$	$=$	$31,218$
	$=$	$a$

$γ$	$=$	$180^{\circ} - 2 \cdot {23,51}^{\circ}$
	$=$	${132,98}^{\circ}$