Mathe Geometrie Satzgruppe des Pythagoras Aufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras

Aufgaben zum Satz des Pythagoras

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

Nach nebenstehender Zeichnung soll ein Doppeltor gebaut werden. Die Maße sind hier jeweils in $mm$ angegeben. Der Querschnitt der Stäbe ist ein Quadrat mit Kantenlänge $50 mm$ .

Berechne die Gesamtlänge an Stäben, die mindestens benötigt wird.

Beachte, wie die Profile zusammengebaut werden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Anwendung des Satz des Pythagoras

Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Textaufgabe, bei der der Satz des Pythagoras verwendet wird.

Die benötigte Gesamtlänge der Stäbe ergibt sich aus der Stablänge der beiden Diagonalen, der Stablänge des Umfangs des Doppeltors und der Länge der beiden mittleren Stäbe.

Gesamtlänge der mittleren Stäbe

Beide Stäbe sind laut Skizze $2570 mm$ lang. Somit ist die Gesamtlänge:

$\begin{array}{lcl} L_{1} & = & 2 \cdot 2570 mm \\ = & 5140 mm \end{array}$

Umfang des Doppeltors

Beim Doppeltor handelt es sich um ein Rechteck. Dessen Umfang kannst du wie folgt berechnen:

$\begin{array}{lclcl} L_{2} & = & 2 \cdot 3100 mm & + & 2 \cdot 2570 mm \\ = & 6200 mm & + & 5140 mm \\ = & 11340 mm \end{array}$

Stablänge der Diagonalen

Beide Stäbe sind die Diagonalen der inneren, rechteckigen Flächen. Um die Stäblänge auszurechnen benötigst du die Länge und Breite der Innenflächen.Mit Hilfe der Skizze ergibt sich:

$Länge = (Doppeltorlänge : 2) - (2 \cdot Stabbreite)$

$Breite = Doppeltorhöhe - (2 \cdot Stabbreite)$

Somit ist die Länge:

$\begin{array}{lclcl} l & = & (3100 mm : 2) & - & 2 \cdot 50 mm \\ = & 1550 mm & - & 100 mm \\ = & 1450 mm \end{array}$

Und die Breite:

$\begin{array}{lclcl} b & = & 2570 mm & - & 2 \cdot 50 mm \\ = & 2570 mm & - & 100 mm \\ = & 2470 mm \end{array}$

Um die Stablänge einer Diagonalen zu berechnen, wenden wir den Satz des Pythagoras an:

$\begin{array}{lcl} d & = & \sqrt{l^{2} + b^{2}} \\ = & \sqrt{(1450 mm)^{2} + (2470 mm)^{2}} \\ = & 2864,15 \dots mm \\ \approx & 2864 mm \end{array}$

Die Länge beider Stäbe entspricht also:

$\begin{array}{lcl} L_{3} & = & 2 \cdot d \\ \approx & 2 \cdot 2864 mm \\ = & 5728 mm \end{array}$

Gesamte Stablänge

Die benötigte Gesamtlänge ist somit:

$\begin{array}{lclclcl} L & = & L_{1} & + & L_{2} & L_{3} \\ \approx & 5140 mm & + & 11340 mm & + & 5728 mm \\ = & 22208 mm \end{array}$

Es wird also eine Gesamtlänge von etwa $22208 mm = 22,208 m$ an Stäben benötigt.

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