Aufgaben zur Flächenberechnung mittels Integral

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Berechne die Fläche zwischen der x-Achse und $G_{f}$ im Bereich von $x = a$ bis $x = b$ .
$f (x) = x^{3}$                       $a = 0$                    $b = 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
Im Bereich $x = 0$ bis $x = 1$ hat die Funktion $f (x) = x^{3}$ keine Nullstellen, so dass es reicht, das Integral in den angegebenen Grenzen zu berechnen.
$f (x) = x^{3}$ , $a = 0$ , $b = 1$
Integral aufstellen.
$\int_{0}^{1} x^{3} d x = {[\frac{x^{4}}{4}]}_{0}^{1}$
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (0) gerechnet.
$= (\frac{1^{4}}{4}) - (\frac{0^{4}}{4})$
Zähler berechnen.
$= \frac{1}{4}$
Die Fläche zwischen der $x$ -Achse und $G_{f}$ beträgt $A = \frac{1}{4} FE$ .

$f (x) = x^{3}$                       $a = 1$               $b = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
Im Bereich $x = 1$ bis $x = 2$ ist die Funktion $f (x) = x^{3}$ positiv und hat keine Nullstellen, so dass es reicht, das Integral in den angegebenen Grenzen zu berechnen.
$f (x) = x^{3}$ , $a = 1$ , $b = 2$
Integral aufstellen.
$\int_{1}^{2} x^{3} d x = {[\frac{1}{4} x^{4}]}_{1}^{2}$
Integrieren.
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (2) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (1) gerechnet.
$= \frac{1}{4} 2^{4} - \frac{1}{4} 1^{4}$
Potenzen berechen.
$= \frac{16}{4} - \frac{1}{4}$
$= \frac{15}{4} = 3,75$
Die Fläche zwischen der x-Achse und $G_{f} $ beträgt $A = 3,75 FE$ .

$f (x) = - x^{2} + x$            $a = - 1$          $b = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
Im Bereich $x = - 1$ bis $x = 0$ hat die Funktion $f (x) = - x^{2} + x$ nur die Nullstelle $x = 0$ .
Für die linke Integralgrenze gilt: $f (- 1) = - 2$ . Die gesuchte Fläche liegt somit unterhalb der x-Achse.
$f (x) = - x^{2} + x$ , $a = - 1$ , $b = 0$
Integral aufstellen und integrieren:
$\int_{- 1}^{0} - x^{2} + x d x = {[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 1}^{0}$
In die Klammer wird für $x$ der obere Wert (0) eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert (-1) gerechnet.
$= (- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - (- \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2})$
Die erste Klammer ist gleich $" 0 "$ diese bleibt und auch das Vorzeichen ( - ) vor der zweiten Klammer.
$= 0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})$
Hauptnenner (6) bilden und beide Brüche auf diesen erweitern.
$= 0 - (\frac{2}{6} + \frac{3}{6}) = - \frac{5}{6}$
Die Fläche zwischen der x-Achse und $G_{f} $ beträgt $A = | - \frac{5}{6} | = \frac{5}{6} FE$ .

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