Aufgaben zur Kettenregel

1
Bestimme die Ableitung. Benutze dafür die Kettenregel.
$f (x) = \sqrt{x^{3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
$f (x) = \sqrt{x^{3}}$
Finde die einzelnen Funktionen.
$g (x) = \sqrt{x}$
$\begin{array}{l} h (x) = x^{3} \end{array}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = g (h (x)) \end{array}$
Finde die einzelnen Ableitungen.
$g^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$
$h^{'} (x) = 3 x^{2}$
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{h (x)}} \cdot 3 x^{2} \\ = & \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}}} \end{array}$
Am Ende könntest du noch vereinfachen.
$f^{'} (x) = \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{x^{4}}{x^{3}}} = \frac{3}{2} \sqrt{x}$

$f (x) = \sqrt{2 x^{- 3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
$f (x) = \sqrt{2 x^{- 3}}$
Finde die einzelnen Funktionen.
$\begin{array}{l} g (x) = \sqrt{x} \end{array}$
$\begin{array}{l} h (x) = \frac{2}{x^{3}} \end{array}$
$\Rightarrow f (x) = g (h (x))$
Finde die einzelnen Ableitungen.
$\begin{array}{l} g^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{array}$
$h^{'} (x) = - \frac{6}{x^{4}}$
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{h (x)}} \cdot \frac{- 6}{x^{4}} \\ = & \frac{- 3}{x^{4} \sqrt{2 x^{- 3}}} \\ = & \frac{- 3}{\sqrt{2 x^{5}}} \end{array}$
Hinweis: du kannst diese Aufgabe auch über die Ableitung von Potenzfunktionen lösen:
$f (x) = \sqrt{2 x^{- 3}} = \sqrt{2} \cdot x^{- 3 / 2}$
Also ist
$f^{'} (x)$ $=$ $\sqrt{2} \cdot \frac{- 3}{2} x^{- 5 / 2}$
$=$ $- \frac{3}{\sqrt{2}} x^{- 5 / 2}$
Das ist dasselbe Ergebnis wie oben nur etwas anders geschrieben.

$f (x) = e^{x^{3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
$f (x) = e^{x^{3}}$
Finde die einzelnen Funktionen.
$\begin{array}{l} g (x) = e^{x} \end{array}$ $\begin{array}{l} h (x) = x^{3} \end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = g (h (x)) \end{array}$
Bestimme die einzelnen Ableitungen.
$\begin{array}{l} g^{'} (x) = e^{x} \end{array}$ $\begin{array}{l} h^{'} (x) = 3 x^{2} \end{array}$
Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & e^{x^{3}} \cdot 3 x^{2} \end{array}$

$f (x) = \ln (x^{2} + 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
$f (x) = l n (x^{2} + 4)$
Finde die einzelnen Funktionen.
$g (x) = l n (x)$
$h (x) = x^{2} + 4$
$\Rightarrow f (x) = g (h (x))$
Bilde die Ableitung zu den gefundenen Funktionen.
$\begin{array}{l} g^{'} (x) = \frac{1}{x} \end{array}$ $\begin{array}{l} h^{'} (x) = 2 x \end{array}$
Setze nun alles Benötigte in die Formel ein.
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \frac{1}{h (x)} \cdot 2 x \\ = & \frac{2 x}{x^{2} + 4} \end{array}$
2
Sei $f (x)$ eine differenzierbare Funktion, sodass $f (x) > 0$ für alle $x \in ℝ$ gilt.
Berechne die Ableitung von $\ln (f (x))$ mit der Kettenregel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
Zuerst bestimmen wir die Funktionen $v (x)$ und $u (x)$ . Hier ist $v (x) = f (x)$ und $u (x) = \ln (x)$ . Wir wissen, dass $v^{'} (x) = f^{'} (x)$ und $u^{'} (x) = 1 / x$ . Einsetzen ergibt
$(\ln (f (x)))^{'} = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x) = \frac{1}{v (x)} \cdot f^{'} (x) = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} .$

Sei $a$ eine positive relle Zahl. Benutze die Formel aus Teilaufgabe a), um die Ableitung von $f (x) = a^{x}$ zu berechnen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus-Regeln
Wir verwenden die Formel aus a)
$(\ln (f (x)))^{'} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)}$
und formen nach $f^{'} (x)$ um. Dafür multiplizieren wir auf beiden Seiten der Formel mit $f (x)$ und erhalten
$f^{'} (x) = (\ln (f (x)))^{'} \cdot f (x) .$
Nun setzen wir $f (x) = a^{x}$ ein. Jetzt erkennen wir, dass wir mit den Logarithmus-Regeln $\ln (a^{x}) = x \cdot \ln (a)$ schreiben können. Damit folgt $(\ln (a^{x}))^{'} = \ln (a)$ . Das ergibt
$f^{'} (x) = \ln (a) \cdot a^{x} .$

Wie kannst du den Lösungsweg aus b) verändern, wenn du die Ableitung von $x^{x}$ berechnen willst?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Wie in b) erhalten wir für eine beliebige Funktion $f (x)$ die Formel
$f^{'} (x) = (\ln (f (x)))^{'} \cdot f (x) .$
Jetzt setzen wir $f (x) = x^{x}$ ein. Mit den Logarithmusregeln folgt $\ln (f (x)) = x \cdot \ln (x)$ . Also ist
$(\ln (f (x)))^{'} = 1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln (x) + 1.$
Somit folgt
$f^{'} (x) = (\ln (f (x)))^{'} \cdot f (x) = (\ln (x) + 1) \cdot x^{x} .$

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$f^{'} (x)$	$=$	$\sqrt{2} \cdot \frac{- 3}{2} x^{- 5 / 2}$
	$=$	$- \frac{3}{\sqrt{2}} x^{- 5 / 2}$