Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind rechtwinklige Dreiecke $A B_{n} M$ mit $A M = 4 cm$ und den Hypotenusen $[A B_{n}]$ .
Die Winkel $B_{n} A M$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 30^{\circ}; 90^{\circ} [$ .
Der Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r = M C = 2 cm$ schneidet die Seite $[A M]$ im Punkt $D$ und die Seiten $[B_{n} M]$ im Punkt $C$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Berechnen Sie die Länge der Seite $[A B_{1}]$ für $φ = 54^{\circ}$ .

Lösung zu Teilaufgabe a
In dieser Aufgabe verwendest du die trigonometrischen Beziehungen.
Du betrachtest das rechtwinklige Dreieck $A B_{1} M$ und erinnerst dich an
$\cos (φ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse} .$
Im Dreieck $A B_{1} M$ ist die Strecke $[A M]$ die Ankathete und die gesuchte Strecke $[A B_{1}]$ ist die Hypotenuse. Damit formst du die Kosinusbeziehung wie folgt um:
$\cos (φ)$ $=$ $\frac{A M}{A B_{1}}$ $\cdot A B_{1}$
$\cos (φ) \cdot A B_{1}$ $=$ $A M$ $: \cos (φ)$
$A B_{1}$ $=$ $\frac{A M}{\cos (φ)}$
Da dir die Länge $A M = 4 cm$ gegeben ist, kannst du $A B_{1}$ berechnen:
$A B_{1} = \frac{A M}{\cos (φ)} = \frac{4}{\cos (54^{\circ})} \approx 6,81 (c m) .$

Die Figuren $A B_{n} C D$ , die durch die Strecken $[A D], [A B_{n}]$ und $[B_{n} C]$ sowie durch den Kreisbogen $\overset{⌢}{D}$ begrenzt wird, rotieren um die Gerade $A M$ .
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $V (φ) = \frac{16}{3} \cdot π \cdot (4 \cdot \tan^{2} (φ) - 1) {cm}^{3}$

Lösung zu Teilaufgabe b
Du beginnst mit der Berechnung des Volumens des Rotationskörpers, welcher vom linksstehenden Dreieck $A B_{n} M$ erzeugt wird. Danach subtrahierst du das Volumen der Halbkugel, welches durch den Kreisbogen $\overset{⌢}{D}$ erzeugt wird.
Der Körper, erzeugt vom Dreieck $A B_{n} M$ , ist ein Kegel mit der Spitze $A$ , Radius $r = B_{n} M$ und Höhe $h = A M$ . Die Länge $B_{n} M$ berechnest du mittels der Tangensbeziehung
$\tan (φ) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{B_{n} M}{A M} .$
Setzt du nun den Wert $A M = 4 cm$ aus der Aufgabenstellung ein und löst nach $B_{n} M$ auf, erhältst du
$B_{n} M = 4 \cdot \tan (φ) (c m) .$
Erinnere dich an die Volumenformeln für Kegel
$V_{Kegel} = \frac{π}{3} \cdot r^{2} \cdot h = \frac{π}{3} \cdot 4^{2} \cdot \tan^{2} (φ) \cdot 4 = \frac{64}{3} \cdot π \cdot \tan^{2} (φ) (c m^{3})$
und Halbkugel
$V_{Halbkugel} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3} = \frac{2}{3} \cdot π \cdot {M C}^{3} = \frac{16}{3} \cdot π (c m^{3}),$
wobei du den Wert für $M C$ einfach der Aufgabenstellung entnimmst. Jetzt hast du alles zusammengetragen, um das gesuchte Volumen zu berechnen:
$V (φ) = V_{Kegel} - V_{Halbkugel} = \frac{64}{3} \cdot π \cdot \tan^{2} (φ) - \frac{16}{3} \cdot π = \frac{16}{3} \cdot π (4 \cdot \tan^{2} (φ) - 1) (c m^{3}) .$

Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers für $φ = 54^{\circ}$

Lösung zu Teilaufgabe c
In der vorigen Teilaufgabe (b) hast du bereits das Volumen
$V (φ) = V_{Kegel} - V_{Halbkugel} = \frac{16}{3} \cdot π (4 \cdot \tan^{2} (φ) - 1) (c m^{3})$
berechnet.
Setzt du nun $φ = 54 °$ in diese Formel ein, erhältst du
$V (54 °) = \frac{16}{3} \cdot π (4 \cdot \tan^{2} (54 °) - 1) = 110,21 (c m^{3}) .$
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Punkte $A_{n} (2 \cdot \sin (φ) - 4 | 3 \cdot \sin (φ) - 1)$ mit $φ \in [0^{\circ}; 90^{\circ}]$ legen zusammen mit den Punkten $B (- 2 | - 3)$ und $D (2 | 3)$ Parallelogramme $A_{n} B C_{n} D$ fest.
In das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ist das Parallelogramm $A_{1} B C_{1} D$ für $φ = 0^{\circ}$ eingezeichnet.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $A_{2}$ für $φ = 90^{\circ}$ und zeichnen Sie sodann das Parallelogramm $A_{2} B_{2} C_{2} D$ ein.

Lösung zu Teilaufgabe a
In dieser Aufgabe beschäftigst du dich mit der Konstruktion von Parallelogrammen.
Um den Punkt $A_{2}$ zu berechnen, setzt du den Wert $φ = 90 °$ in $A_{n} (2 \cdot \sin φ - 4 | 3 \cdot \sin φ - 1)$ ein und erinnerst dich, dass $\sin 90 ° = 1$ gilt. Damit erhältst du $A_{2} (- 2 | 2)$ .
Nun kannst du den Punkt $A_{2}$ sowie die Verbindungsgeraden $[A_{2} B]$ und $[A_{2} D]$ in das Koordinatensystem eintragen.
Zeichne anschließend je eine Parallele zur Strecke $[A_{2} B]$ durch den Punkt $D$ und eine Parallele zu $[A_{2} D]$ durch den Punkt $B$ . Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden liefert den Punkt $C_{2}$ und somit auch das Parallelogramm $A_{2} B C_{2} D$ .
Das konstruierte Parallelogramm

Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Trägergraphen $t$ der Punkt $A_{n}$ gilt:
$y = \frac{3}{2} x + 5 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .
Zeichnen Sie den Trägergraphen $t$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Lösung zu Teilaufgabe b
In dieser Aufgabe benutzt du Konzepte aus dem Artikel Geradengleichung.
Gegeben sind die zwei Punkte $A_{2} (- 2 | 2)$ und $A_{1} (- 4 | - 1)$ . Du berechnest zunächst die Steigung $m$ des Trägergraphen $t$ . Dies machst du mit dem Steigungsdreieck:
$m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{A_{2}} - y_{A_{1}}}{x_{A_{2}} - x_{A_{1}}} = \frac{2 - (- 1)}{- 2 - (- 4)} = \frac{3}{2}$
Für den $y$ -Achsenabschnitt $c$ setzt du den Punkt $A_{1}$ in die Geradengleichung $t (x) = m \cdot x + c$ ein und berechnest:
$t (- 4)$ $=$ $- 1$
↓
Setze die Definition von $t$ ein.
$- 4 \cdot m + c$ $=$ $- 1$
↓
Setze den Wert für $m$ ein.
$- 4 \cdot \frac{3}{2} + c$ $=$ $- 1$
↓
Vereinfache.
$- 6 + c$ $=$ $- 1$ $+ 6$
↓
Löse nach $c$ auf.
$c$ $=$ $5$
Zusammenfassend hast du die Geradengleichung des Trägergraphes bestimmt:
$t (x) = \frac{3}{2} \cdot x + 5.$
Für die Skizze des Trägergraphens $t$ kannst du nochmal in die Lösung zu Teilaufgabe (a) schauen.

Begründen Sie, dass die Flächeninhalte $A$ aller Parallelogramme $A_{n} B C_{n} D$ maßgleich sind.

Lösung zu Teilaufgabe c
Erinnere dich an die Berechnung von Parallelogrammflächen mittels Determinante. Dies geht genauso wie im Artikel Dreiecksfläche im Koordinatensystem beschrieben; lediglich der dort erwähnte Vorfaktor $0,5$ fällt weg.
Du berechnest zunächst die Fläche des Dreiecks $A_{n} B D$ . Dazu verwendest du die Verbindungsvektoren:
$\vec{B D} = (\begin{array}{c} 2 - (- 2) \\ 3 - (- 3) \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array})$ und
$\vec{B A_{n}}$ $=$ $(\begin{array}{c} 2 \cdot \sin (φ) - 4 - (- 2) \\ 3 \cdot \sin (φ) - 1 - (- 3) \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 2 \cdot \sin (φ) - 2 \\ 3 \cdot \sin (φ) + 2 \end{array})$
Nach der Determinantenformel gilt
$A_{△ A_{n} B D}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot | \vec{B D} \vec{B A_{n}} |$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot | \begin{array}{cc} 4 & 2 \cdot \sin (φ) - 2 \\ 6 & 3 \cdot \sin (φ) + 2 \end{array} |$
$=$ $\frac{1}{2} [4 \cdot (3 \cdot \sin (φ) + 2) - 6 \cdot (2 \cdot \sin (φ) - 2)]$
$=$ $\frac{1}{2} [12 \cdot \sin (φ) + 8 - 12 \cdot \sin (φ) + 12] = 10 (F E) .$
Aus Symmetriegründen ist der Flächeninhalt des Parallelogramms $A_{n} B C_{n} D$ das Doppelte des Dreiecksflächeninhalts:
$A_{A_{n} B C_{n} D} = 2 \cdot A_{△ A_{n} B D} = 20 (F E) .$
Da dieses Ergebnis unabhängig von $φ$ ist, folgt, dass der Flächeninhalt aller Parallelogramme konstant bleibt.
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = \log_{2} (x + 2) + 1 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .
Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion $f_{1}$ an.

Lösung zu Teilaufgabe a
In dieser Teilaufgabe untersuchst du den Definitionsbereich eines logarithmischen Funktionsterms.
Zunächst betrachtest du die Gleichung der Funktion $f_{1} : y = \log_{2} (x + 2) + 1$ . Der Logarithmus ist nur definiert, wenn der Ausdruck $(x + 2)$ positiv ist. Damit $x + 2 > 0$ erfüllt ist, muss folglich $x > - 2$ gelten. Der Definitionsbereich ist also durch $𝔻 =] - 2, \infty [$ gegeben.

Bestimmen Sie die nach $y$ aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu $f_{1}$ .

Lösung zu Teilaufgabe b
Diese Teilaufgabe beschäftigt sich mit der Umkehrfunktion eines logarithmischen Funktionsterms.
Um die Umkehrfunktion zu $f_{1}$ zu bestimmen, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:
Zunächst vertauschst du $x$ und $y$ in der Funktionsgleichung.
Anschließend löst du die Gleichung $x = \log_{2} (y + 2) + 1$ nach $y$ auf:
$x$ $=$ $\log_{2} (y + 2) + 1$ $- 1$
$x - 1$ $=$ $\log_{2} (y + 2)$ $2^{(\cdot)}$
↓
Du rechnest $2^{(\cdot)}$ , da $2^{x}$ die Umkehrfunktion von $\log_{2} (x)$ ist.
$2^{x - 1}$ $=$ $y + 2$ $- 2$
$2^{x - 1} - 2$ $=$ $y$
Es gilt also $y = 2^{x - 1} - 2$ .
Damit folgt nun, dass die Umkehrfunktion von $f_{1}$ durch $f_{1}^{- 1} : y = 2^{x - 1} - 2$ gegeben ist.

Der Graph der Funktion $f_{2}$ hat eine Gleichung der Form $y = \log_{2} (- x + a) + 3 (𝔾 = ℝ \times ℝ; a \in ℝ)$ und schneidet den Graphen der Funktion $f_{1}$ auf der $y$ -Achse.
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für $a$ .

Lösung zu Teilaufgabe c
In dieser Teilaufgabe berechnest du den Schnittpunkt zweier Funktionen.
Du weißt, dass der Graph der Funktion $f_{2}$ eine Gleichung der Form $y = \log_{2} (- x + a) + 3$ hat und den Graphen der Funktion $f_{1}$ auf der $y$ -Achse schneidet.
Da die Graphen sich auf der $y$ -Achse schneiden, sind für $x = 0$ die $y$ -Werte der Funktionsgleichungen von $f_{1}$ und $f_{2}$ gleich:
$f_{1} (0) = f_{2} (0)$ .
Einsetzen der Funktionsgleichungen von $f_{1}$ und $f_{2}$ liefert:
$\log_{2} (0 + 2) + 1 = \log_{2} (- 0 + a) + 3$ .
Diese Gleichung löst du nun nach $a$ auf:
$\log_{2} (0 + 2) + 1$ $=$ $\log_{2} (- 0 + a) + 3$
↓
Vereinfache.
$\log_{2} (2) + 1$ $=$ $\log_{2} (a) + 3$ $- 3$
$\log_{2} (2) + 1 - 3$ $=$ $\log_{2} (a)$ $2^{(\cdot)}$
$2^{\log_{2} (2) - 2}$ $=$ $a$
↓
$\log_{2} (2) = 1$
$2^{1 - 2}$ $=$ $a$
$2^{- 1}$ $=$ $a$
und erhältst $a = 2^{- 1} = 0,5$ .
Folglich ist die Lösungsmenge durch $𝕃 = {0,5}$ gegeben und die Funktionsgleichung von $f_{2}$ lautet $f_{2} : y = \log_{2} (- x + 0,5) + 3$ .
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\cos (φ)$	$=$	$\frac{A M}{A B_{1}}$	$\cdot A B_{1}$
$\cos (φ) \cdot A B_{1}$	$=$	$A M$	$: \cos (φ)$
$A B_{1}$	$=$	$\frac{A M}{\cos (φ)}$

$t (- 4)$	$=$	$- 1$
	↓	Setze die Definition von $t$ ein.
$- 4 \cdot m + c$	$=$	$- 1$
	↓	Setze den Wert für $m$ ein.
$- 4 \cdot \frac{3}{2} + c$	$=$	$- 1$
	↓	Vereinfache.
$- 6 + c$	$=$	$- 1$	$+ 6$
	↓	Löse nach $c$ auf.
$c$	$=$	$5$

$\vec{B A_{n}}$	$=$	$(\begin{array}{c} 2 \cdot \sin (φ) - 4 - (- 2) \\ 3 \cdot \sin (φ) - 1 - (- 3) \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 2 \cdot \sin (φ) - 2 \\ 3 \cdot \sin (φ) + 2 \end{array})$

$A_{△ A_{n} B D}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \| \vec{B D} \vec{B A_{n}} \|$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \| \begin{array}{cc} 4 & 2 \cdot \sin (φ) - 2 \\ 6 & 3 \cdot \sin (φ) + 2 \end{array} \|$
	$=$	$\frac{1}{2} [4 \cdot (3 \cdot \sin (φ) + 2) - 6 \cdot (2 \cdot \sin (φ) - 2)]$
	$=$	$\frac{1}{2} [12 \cdot \sin (φ) + 8 - 12 \cdot \sin (φ) + 12] = 10 (F E) .$

$x$	$=$	$\log_{2} (y + 2) + 1$	$- 1$
$x - 1$	$=$	$\log_{2} (y + 2)$	$2^{(\cdot)}$
	↓	Du rechnest $2^{(\cdot)}$ , da $2^{x}$ die Umkehrfunktion von $\log_{2} (x)$ ist.
$2^{x - 1}$	$=$	$y + 2$	$- 2$
$2^{x - 1} - 2$	$=$	$y$

$\log_{2} (0 + 2) + 1$	$=$	$\log_{2} (- 0 + a) + 3$
	↓	Vereinfache.
$\log_{2} (2) + 1$	$=$	$\log_{2} (a) + 3$	$- 3$
$\log_{2} (2) + 1 - 3$	$=$	$\log_{2} (a)$	$2^{(\cdot)}$
$2^{\log_{2} (2) - 2}$	$=$	$a$
	↓	$\log_{2} (2) = 1$
$2^{1 - 2}$	$=$	$a$
$2^{- 1}$	$=$	$a$

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Lösung zu Teilaufgabe a

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