Nachtermin Teil B

Die allgemeine Scheitelform einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:

$\mathrm{a}(\mathrm{x}-\mathrm{e}{)}^2+\mathrm{d}=0$

Bekannt ist: $\mathrm{a}=\mathrm{0,5};\mathrm{e}=\mathrm{0,5};\mathrm{d}=1$

Eingesetzt in die obige Formel gibt: $\mathrm{y}=\mathrm{0,5}\cdot (\mathrm{x}-\mathrm{0,5}{)}^2+1𝔾=ℝ\text{x}ℝ$

Multipliziere aus: $\mathrm{y}=\mathrm{0,5}\cdot ({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+\mathrm{0,25})+1$

$\Rightarrow {\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}=\mathrm{0,5}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{0,5}\mathrm{x}+\mathrm{1,125}$

Einzeichnen der Parabeln${\mathrm{p}}_1$ und${\mathrm{p}}_2$:

$\mathrm{0,5}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{0,5}\mathrm{x}+\mathrm{1,125}=\mathrm{0,5}{\mathrm{x}}^2+3𝔾=ℝ$

Für $x$ erhältst du also $𝕃=\{-\mathrm{3,75}\}$ .

Setze $\text{x}$ in${\mathrm{p}}_1$ oder ${\mathrm{p}}_2$ ein und berechne $\text{y}.$

$\text{x}$ eingesetzt in ${\mathrm{p}}_2$:

$\mathrm{0,5}\cdot (-\mathrm{3,75}{)}^2+3=\mathrm{10,03}$

$\mathrm{y}=\mathrm{10,03}$

$\mathrm{T}(-\mathrm{3,75}|\mathrm{10,03})$

Einzeichnen der Dreiecke ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$ und ${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$in das Koordinatensystem

zu Teilaufgabe (a).

Darstellen der Koordinaten der Punkte ${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ im Koordinatensystem in Abhängigkeit von der Abszisse ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}$.

Setze für $\text{x}$ , $(\mathrm{x}+2)$ in die Funktionsgleichung zu ${\mathrm{p}}_2$ ein.

${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x}+2|\mathrm{0,5}\cdot (\mathrm{x}+2{)}^2+3)\mathrm{x}\in ℝ;\mathrm{x}>-\mathrm{3,75}$

${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x}+2|\mathrm{0,5}{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+5)$

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=\mathrm{0,5}{\mathrm{x}}^2+3;{\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}=\mathrm{0,5}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{0,5}\mathrm{x}+\mathrm{1,125}$

$\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=(\mathrm{0,5}{\mathrm{x}}^2+3-(\mathrm{0,5}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{0,5}\mathrm{x}+\mathrm{1,125}))\mathrm{L}\mathrm{E}\text{x}\in ℝ;\text{x}>-\mathrm{3,75}$

$\overline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})=\mathrm{0,5}\mathrm{x}+\mathrm{1,875}\mathrm{L}\mathrm{E}$

Da ${\mathrm{B}}_3$ und ${\mathrm{C}}_3$ dieselbe Ordinate haben gilt: ${{\mathrm{y}}_{\mathrm{B}}}_3={{\mathrm{y}}_{\mathrm{C}}}_3$

$𝕃=\{-\mathrm{1,55}\}$

Berechnen der $\text{y}$ Koordinate von ${\mathrm{B}}_3.$

$\mathrm{0,5}\cdot (-\mathrm{1,55}{)}^2-\mathrm{0,5}\cdot (-\mathrm{1,55})+\mathrm{1,125}=\mathrm{3,10}$

${\mathrm{B}}_3(-\mathrm{1,55}|\mathrm{3,10})$

${\mathrm{M}}_4$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\left[{\mathrm{A}}_4{\mathrm{B}}_4\right]$, da das Dreieck gleichschenklig ist gilt:

${\mathrm{y}}_{{\mathrm{M}}_4}={\mathrm{y}}_{{\mathrm{C}}_4}$

Bestimmen von ${\mathrm{y}}_{{\mathrm{M}}_{\mathrm{n}}}$:

${\mathrm{y}}_{{\mathrm{M}}_{\mathrm{n}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}{\mathrm{x}}^2+3+\mathrm{0,5}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{0,5}\mathrm{x}+\mathrm{1,125}}{2}}\mathrm{x}\in ℝ;\mathrm{x}>-\mathrm{3,75}$

${\mathrm{y}}_{{\mathrm{M}}_{\mathrm{n}}}=\mathrm{0,5}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{0,25}\mathrm{x}+\mathrm{2,06}$

Satz des Pythagoras angewandt auf das Dreieck $\text{AMG}$ :

${\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}}^2={\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}}^2+{\overline{\mathrm{G}\mathrm{M}}}^2\Rightarrow \overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}=\sqrt{{\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}}^2+{\overline{\mathrm{G}\mathrm{M}}}^2}$

Einsetzten der Zahlenwerte:

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}=\sqrt{{10}^2+6^2}\mathrm{c}\mathrm{m}\Rightarrow \overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}=\mathrm{11,66}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Berechnen des Maßes $\phi$ des Winkels $\text{AGM}$ :

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{\phi }={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}}{\overline{\mathrm{G}\mathrm{M}}}}\Rightarrow \tan \phi ={\displaystyle \frac{10}{6}}\Rightarrow \phi ={\mathrm{59,04}}^{\circ }$

Einzeichnen der Pyramide ${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1\mathrm{M}$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe $\text{(a)}$.

Das Volumen der Pyramide ${\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}$ berechnet sich wie folgt:

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}}\cdot \overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}\cdot \overline{{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}\overline{{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$

Berechnen der Strecke $\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}}$ mit dem Tangens.

${\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}}(\mathrm{x})}{\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{m}}}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{\phi }\mathrm{\phi }={\mathrm{59,04}}^{\circ }\mathrm{x}\in ℝ;0<\mathrm{x}<6$

$\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}}=\mathrm{1,67}\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{1,67}\mathrm{x}\cdot 14\cdot (6-\mathrm{x})\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\mathrm{x}\in ℝ;0<\mathrm{x}<6$

$\mathrm{V}(\mathrm{x})=(-\mathrm{3,90}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{23,38}\mathrm{x})\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

Da es sich bei dem Funktionsgraphen von $\text{V(x)}$ um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, entspricht der Funktionswert des Scheitels ${\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}$, dem maximalen Volumen der Pyramide ${\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}$.

Berechnen des Funktionswertes ${\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}$ mit der Formel:

${\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}=\mathrm{c}-{\displaystyle \frac{{\mathrm{b}}^2}{4\cdot \mathrm{a}}}$

Zur Erinnerung, die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{a}\mathrm{x}}^2+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

${\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}=0-{\displaystyle \frac{(\mathrm{23,38}{)}^2}{4\cdot (-\mathrm{3,90})}}\Rightarrow y_S=-{\displaystyle \frac{\mathrm{546,62}}{-\mathrm{15,60}}}$

${\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}=\mathrm{35,04}$

Das maximale Volumen der Pyramide ${\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_0{\mathrm{R}}_0\mathrm{M}$ beträgt: ${\mathrm{V}}_{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_0{\mathrm{R}}_0\mathrm{M}}=\mathrm{35,04}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

Volumen Prisma: ${\mathrm{V}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}2\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}}{}}\Rightarrow {\mathrm{V}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}}={\displaystyle \frac{14\cdot 10}{2}}\cdot 6[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3]$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}}=420\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

Berechnen des prozentualen Unterschieds von ${\mathrm{V}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}}$ zu ${\mathrm{V}}_{{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_0{\mathrm{R}}_0\mathrm{M}}$:

${\displaystyle \frac{420-\mathrm{35,04}}{420}}=\mathrm{0,9166}$

Das Volumen der Pyramide ist um $\mathrm{91,66}\%$ kleiner als das Volumen des Prismas.

${\mathrm{V}}_{{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{R}}_2\mathrm{M}}={\mathrm{V}}_{{\mathrm{P}}_3{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{R}}_3\mathrm{M}}=\mathrm{7,5}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$

$-\mathrm{3,90}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{23,38}\mathrm{x}=\mathrm{7,5}\mathrm{x}\in ℝ;0<\mathrm{x}<6$

Löse die quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel.

$x_{1/2}={\displaystyle \frac{-\mathrm{23,38}\pm \sqrt{{\mathrm{23,38}}^2-4\cdot (-\mathrm{3,90}\cdot -\mathrm{7,5})}}{2\cdot (-\mathrm{3,90})}}$

$x_{1/2}={\displaystyle \frac{-\mathrm{23,38}\pm \sqrt{\mathrm{546,62}-117}}{-\mathrm{7,80}}}$

$\mathrm{x}=\mathrm{0,34}\vee \mathrm{x}=\mathrm{5,65}𝕃=\{\mathrm{0,34};\mathrm{5,64}\}$

Einzeichnen der Strecke $[{\mathrm{P}}_4\mathrm{M}].$

$[{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}]$ in Abhängigkeit von $\text{x}:$

$1.$ Lösungsmöglichkeit:

$\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}(\mathrm{x})=\sqrt{(\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}}{)}^2+(\overline{{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}{)}^2}\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}}=\mathrm{1,67}\mathrm{x}\overline{{\mathrm{N}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}=(6-\mathrm{x})$

$\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}(\mathrm{x})=\sqrt{(\mathrm{1,67}\mathrm{x}{)}^2+(6-\mathrm{x}{)}^2}\mathrm{c}\mathrm{m}\text{x}\in ℝ;0<\mathrm{x}<6$

$\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{3,79}{\mathrm{x}}^2-12\mathrm{x}+36}\text{cm}$

Berechnen der Strecke $\overline{{\mathrm{P}}_4\mathrm{M}}:$

Da es sich bei dem Funktionsgraphen von $(\overline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\mathrm{M}}{)}^2$ um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, entspricht der Funktionswert des Scheitels ${\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}$ dem Quadrat der minimalen

Länge der Strecke $\overline{{\mathrm{P}}_4\mathrm{M}}.$

Berechnen des Funktionswertes ${\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}$ mit der Formel:

${\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}=\mathrm{c}-{\displaystyle \frac{{\mathrm{b}}^2}{4\cdot \mathrm{a}}}\Rightarrow {\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}=36-{\displaystyle \frac{{12}^2}{4\cdot \mathrm{3,79}}}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

${\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}=\mathrm{26,50}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$

$(\overline{{\mathrm{P}}_4\mathrm{M}}{)}^2=\mathrm{26,50}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\Rightarrow \overline{{\mathrm{P}}_4\mathrm{M}}=\sqrt{\mathrm{26,50}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}$

$\overline{{\mathrm{P}}_4\mathrm{M}}=\mathrm{5,15}\mathrm{c}\mathrm{m}$

$2.$ Lösungsmöglichkeit:

Das Dreieck $△\mathrm{A}\mathrm{M}{\mathrm{P}}_4$ ist ein rechtwinkliges Dreieck, der Winkel $\sphericalangle \mathrm{A}\mathrm{M}{\mathrm{P}}_4$ ist bekannt,

siehe Lösung zur Aufgabe $2\mathrm{a}).$ $\overline{{\mathrm{P}}_4\mathrm{M}}$ ist dann die Ankathete und $\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}$ ist die Hypotenuse

dieses Dreiecks.

$\cos \sphericalangle \mathrm{A}\mathrm{M}{\mathrm{P}}_4={\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{P}}_4\mathrm{M}}}{\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}}}\Rightarrow \overline{{\mathrm{P}}_4\mathrm{M}}=\cos \sphericalangle \mathrm{A}\mathrm{M}{\mathrm{P}}_4\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}$

$\overline{{\mathrm{P}}_4\mathrm{M}}=10\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{59,04}}^{\circ }\Rightarrow \overline{{\mathrm{P}}_4\mathrm{M}}=10\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{0,5144}$

$\overline{{\mathrm{P}}_4\mathrm{M}}=\mathrm{5,14}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Der Unterschied der Ergebnisse kommt daher, dass der in der $1.$ Lösungsmöglichkeit

verwendet Wert $(\mathrm{1,67})$ aufgerundet ist.