Aufgaben zur Flächenberechnung am Dreieck

1
Berechne den Flächeninhalt des grünen Achtecks ABCDEFGH.
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, um diese Aufgabe zu lösen.
Die vermutlich üblichste Möglichkeit ist es, das Achteck in Figuren zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leichter berechnen kannst.
Die Berechnung über eine Zerlegung in Drei- und Rechtecke ist hier näher ausgeführt.
Der Flächeninhalt $A_{A c h t e c k}$ ergibt sich dann aus der Summe der Flächeninhalte der Drei- und Rechtecke der Zerlegung, also:
$A_{A c h t e c k} = A_{Δ_{1}} + A_{Δ_{2}} + A_{Δ_{3}} + A_{Δ_{4}} + A_{□_{1}} + A_{□_{2}} + A_{□_{3}}$
Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und Rechtecke berechnen.
Flächeninhalt der Dreiecke
Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Dreiecke $A_{Δ_{1}}$ , $A_{Δ_{2}}$ , $A_{Δ_{3}}$ und $A_{Δ_{4}} $ benötigst du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke.
$A_{Δ_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 2 cm \cdot 1 cm = 1 {cm}^{2}$
$A_{Δ_{2}} = \frac{1}{2} \cdot 1 cm \cdot 1 cm = \frac{1}{2} {cm}^{2}$
$A_{Δ_{3}} = \frac{1}{2} \cdot 2 cm \cdot 2 cm = 2 {cm}^{2}$
$A_{Δ_{4}} = \frac{1}{2} \cdot 1 cm \cdot 2 cm = 1 {cm}^{2}$
Flächeninhalt der Rechtecke
Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Rechtecke $A_{□_{1}}$ , $A_{□_{2}}$ und $A_{□_{3}}$ brauchst du die Flächeninhaltsformel für Rechtecke.
$A_{□_{1}} = 3 cm \cdot 1 cm = 3 {cm}^{2}$
$A_{□_{2}} = 6 cm \cdot 2 cm = 12 {cm}^{2}$
$A_{□_{3}} = 3 cm \cdot 2 cm = 6 {cm}^{2}$
Berechnung des Flächeninhalts des Achtecks
Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und Rechtecke addieren, um $A_{A c h t e c k}$ zu bestimmen.
$A_{A c h t e c k} = A_{Δ_{1}} + A_{Δ_{2}} + A_{Δ_{3}} + A_{Δ_{4}} + A_{□_{1}} + A_{□_{2}} + A_{□_{3}} = 1 {cm}^{2} + \frac{1}{2} {cm}^{2} + 2 {cm}^{2} + 1 {cm}^{2} + 3 {cm}^{2} + 12 {cm}^{2} + 6 {cm}^{2} = 25,5 {cm}^{2}$
Der gesuchte Flächeninhalt ist also $A_{A c h t e c k} = 25,5 {cm}^{2}$
Versuche das Vieleck in Formen zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst.
2
Berechne den Flächeninhalt des rechts abgebildeten Schmetterlings.
$1 K \ddot{a} s t c h e n = 1 c m^{2}$
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt einer zusammengesetzten Figur
Die Figur ist achsensymetrisch, das heißt man kann sie spiegeln (=> Flächeninhalt ist bei jeder Hälfte gleich groß)Berechnung einer Hälfte mal 2.
Zerteilung
Rechnung
$A_{S c h m e t t e r l i n g} = 2 \cdot (A_{D r e i e c k e} + A_{V i e r e c k e})$
$1. D r e i e c k e$
$A_{A B I} = \frac{1}{2} \cdot 3 c m \cdot 2 c m = 3 c m^{2}$
$A_{B I C} = \frac{1}{2} \cdot 4 c m \cdot 2 c m = 4 c m^{2}$
$A_{M C D} = \frac{1}{2} \cdot 3 c m \cdot 3 c m = 4,5 c m^{2}$
$A_{D E Q} = \frac{1}{2} \cdot 1 c m \cdot 2 c m \equiv 1 c m^{2}$
$A_{P E F} = \frac{1}{2} \cdot 3 c m \cdot 3 c m = 4,5 c m^{2}$
$A_{G R F} = \frac{1}{2} \cdot 3 c m \cdot 2 c m \equiv 3 c m^{2}$
$A_{D r e i e c k e} = 3 c m^{2} + 4 c m^{2} + 4,5 c m^{2} + 1 c m^{2} + 4,5 c m^{2} + 3 c m^{2} = 20 c m^{2}$
$2. V i e r e c k e$
$A_{A M Q S} = 4 c m \cdot 4 c m = 16 c m^{2}$
$A_{S P R G} = 1 c m \cdot 3 c m = 3 c m^{2}$
$A_{V i e r e c k e} = 16 c m^{2} + 3 c m^{2} = 19 c m^{2}$
3.Schmetterling
$\begin{array}{lcl} A_{S c h m e t t e r l i n g} & = & 2 \cdot (A_{D r e i e c k e} + A_{V i e r e c k e}) \\ = & 2 \cdot (20 c m^{2} + 19 c m^{2}) \\ = & 2 \cdot 39 c m^{2} \\ = & 78 c m^{2} \end{array}$
Über das Rechteck
Rechnung
$A_{S c h m e t t e r l i n g} = 2 \cdot (A_{R e c h t e c k} - A_{S u m m e d e r D r e i e c k e + R e c h t e c k})$
$A_{R S T U} = 7 c m \cdot 9 c m = 63 c m^{2}$
2. $A_{S u m m e d e r D r e i e c k e}$
$A_{S u m m e d e r D r e i e c k e} = 3 c m^{2} + 4 c m^{2} + 4.5 c m^{2} + 1 c m^{2} + 4.5 c m^{2} + 3 c m^{2} = 20 c m^{2}$
$A_{K l e i n e s R e c h t e c k} = A_{V W Z P} = 1 c m \cdot 4 c m = 4 c m^{2}$
$A_{S u m m e d e r D r e i e c k e + R e c h t e c k} = 20 c m^{2} + 4 c m^{2} = 24 c m^{2}$
3. $A_{S c h m e t t e r l i n g}$