Aufgaben zum Thema Abbildungen

1
Ein Rechteck $R$ mit Seitenlängen $a$ und $b$ habe eine Fläche von $10 {cm}^{2}$ . Drücke den Umfang $U$ von $R$ als Funktion von $b$ aus.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abbildungen
Wir erinnern uns an die Schule: Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnete sich folgendermaßen:
$A_{R} = a b$
Der Umfang so:
$U_{R} = 2 a + 2 b$
Wenn wir nun den Umfang in Abhängigkeit von $b$ angeben wollen, formen wir $A_{R} = a b$ entsprechend um und setzen es in den Umfangsterm ein:
$A_{R} = a b$
$a = \frac{A_{R}}{b}$
$\Rightarrow U_{R} = 2 b + 2 \frac{A_{R}}{b}$
Wir definieren nun unsere Funktion $U$ (die den Umfang in $c m$ zurückgibt) als:
$U : ℝ_{𝟘}^{+} \to ℝ_{𝟘}^{+}, b \mapsto 2 b + \frac{20}{b}$
Für $A_{R}$ konnten wir hierbei den gegebenen Flächeninhalt $10$ einsetzen.
2
Gib jeweils zwei Funktionen von $ℕ$ nach $ℕ$ an, die die folgende Eigenschaften erfüllen.
Injektiv, aber nicht surjektiv

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: 8. Abbildungen
Beispielsweise könnte man folgende Funktionen angeben:
$f : ℕ \to ℕ, x \mapsto x + 1$
$f : ℕ \to ℕ, x \mapsto x + 2$
und so weiter.
Genauso geht z.B.:
$f : ℕ \to ℕ, x \mapsto 2 \cdot x$
$f : ℕ \to ℕ, x \mapsto 3 \cdot x$
und so fort.
Bei den hier angegebenen Funktionen gibt es keine zwei Zahlen $x, y \in ℕ$ mit $x \neq y$ , für die gilt: $f (x) = f (y)$ (da in den angegebenen Fällen immer $f (x) < f (y)$ für $x < y$ gilt und die Funktionen streng monoton steigen). Gleichzeitig existiert für z.B. die Gleichung $f (x) \overset{!}{=} 1$ keine Lösung in $ℕ$ .

Bijektiv

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: 8. Abbildungen
Die einfachste Lösung wäre wohl:
$f : ℕ \to ℕ, x \mapsto x .$
Weiterhin wäre z.B. folgendes möglich…
$f : ℕ \to ℕ, x \mapsto {\begin{array}{lc} 3 - x & x \leq 2 \\ x & x > 2 \end{array}$
…oder einfach weiter ein paar Werte manuell vertauschen und für den Rest die Identitätsfunktion ( $x \mapsto x$ ) angeben.
3
Die Bijektivität kann man gut einsetzen, um zu entscheiden, ob zwei Mengen gleich viele Elemente haben - dies ist genau dann der Fall, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Mengen gibt.
Demonstriere mit ein paar einfachen Beispielen, dass diese Definition für "kleine"' Mengen gut funktioniert.
Im Gegensatz zum intuitiven "Zählen der Elemente"' lässt sich das Kriterium Bijektivität auch auf unendliche Mengen übertragen:
Vergleiche mit diesem Kriterium die Menge der geraden Zahlen mit der der ungeraden Zahlen.
Gibt es mehr Zahlen die durch 2 teilbar sind, oder mehr, die durch 3 teilbar sind?
Mehr Erstaunliches über Bijektionen auf unendlichen Mengen findet man unter dem Stichwort "Hilberts Hotel", z.B. in der Wikipedia.

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