Aufgaben zum Thema Logarithmen

1
Bestimme für beliebiges positives $b \neq 1$ folgende Werte: $\log_{b} 1$ und $\log_{b} b$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmen
Gesucht ist $y$ mit $y = \log_{b} 1$ . Nach Definition des Logarithmus gilt dann $b^{y} = 1$ . Damit ist $y = 0$ die Lösung. Die Lösung ist eindeutig, weil der Logarithmus eine Funktion ist. Bei einer Funktion ist der Funktionswert immer eindeutig bestimmt.
Als nächstes betrachten wir die Aufgabe $x = \log_{b} b$ . Nach Definition des Logarithmus gilt dann $b^{x} = b$ . Damit ist $x = 1$ die Lösung.
2
In wie vielen Jahren hat sich eine mit einem Zinssatz von $p %$ im Jahr verzinste Geldanlage (incl. Zinseszins) verdoppelt? Berechne diese Dauer für $p = 1,2,3,4$ und $10$ und vergleiche die Ergebnisse mit der Faustregel "70 Jahre geteilt durch Zinssatz".

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmen
Wir können wieder eine Rekursionsvorschrift aufstellen: Am Anfang haben wir einen Geldbetrag $M_{0}$ . Außerdem wird für ein Folgejahr der aktuelle Betrag $M_{n}$ um den Zinsbetrag erweitert:Insgesamt ergibt sich also (wenn wir die Rekursion auflösen):Nun können wir folgende Gleichung aufstellen:Und diese nach $n$ auflösen:Nun vergleichwen wir diese Formel für $p \in {1,2,3,4,10}$ mit $\frac{70}{p}$ (Werte sind teilweise gerundet, zusätzlich sind die aufgerundeten Werte angegeben):
$p$
$\log_{(1 + \frac{p}{100})} 2$
$⌈ \log_{(1 + \frac{p}{100})} 2 ⌉$
$\frac{70}{p}$
$⌈ \frac{70}{p} ⌉$
$1$
$69,66$
$70$
$70$
$70$
$2$
$35,002$
$36$
$35$
$35$
$3$
$23,45$
$23$
$23,33$
$24$
$4$
$17,67$
$18$
$17,5$
$18$
$10$
$7,27$
$8$
$7$
$7$
Wir sehen also, dass $\frac{70}{p}$ den Term $\log_{(1 + \frac{p}{100})} 2$ teilweise leicht unterschätzt.
3
Vereinfache folgende Ausdrücke
( $b, c, x$ und $y$ seien positiv mit $b, c \neq 1$ )
$b^{x + \log_{b} y}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
$b^{x + \log_{b} y} = b^{x} \cdot b^{\log_{b} y} = b^{x} \cdot y^{\log_{b} b} = b^{x} \cdot y$
$a^{\log_{c} b} = a^{\frac{\log_{a} b}{\log_{a} c}} = (a^{\log_{a} b})^{\frac{1}{\log_{a} c}} = b^{\frac{1}{\log_{a} c}} = b^{\frac{\log_{c} a}{\log_{c} c}} = b^{\log_{c} a}$

${(\sqrt[]{b})}^{\log_{b} x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
${((\sqrt[]{b})}^{\log_{b} x} = x^{\log_{b} \sqrt[]{b}} = x^{\log_{b} (b^{\frac{1}{2}})} = x^{\frac{1}{2} \cdot \log_{b} b} = \sqrt[]{x}$
$a^{\log_{c} b} = a^{\frac{\log_{a} b}{\log_{a} c}} = (a^{\log_{a} b})^{\frac{1}{\log_{a} c}} = b^{\frac{1}{\log_{a} c}} = b^{\frac{\log_{c} a}{\log_{c} c}} = b^{\log_{c} a}$

$\log_{c} (x^{\frac{1}{\log_{c} b}})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
$\log_{c} (x^{\frac{1}{\log_{c} b}}) = \frac{1}{\log_{c} b} \cdot \log_{c} x = \log_{b} x$
$a^{\log_{c} b} = a^{\frac{\log_{a} b}{\log_{a} c}} = (a^{\log_{a} b})^{\frac{1}{\log_{a} c}} = b^{\frac{1}{\log_{a} c}} = b^{\frac{\log_{c} a}{\log_{c} c}} = b^{\log_{c} a}$

$p$	$\log_{(1 + \frac{p}{100})} 2$	$⌈ \log_{(1 + \frac{p}{100})} 2 ⌉$	$\frac{70}{p}$	$⌈ \frac{70}{p} ⌉$
$1$	$69,66$	$70$	$70$	$70$
$2$	$35,002$	$36$	$35$	$35$
$3$	$23,45$	$23$	$23,33$	$24$
$4$	$17,67$	$18$	$17,5$	$18$
$10$	$7,27$	$8$	$7$	$7$

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