Rechnen mit dem Logarithmus

Ersetze die folgenden Terme durch einen einzigen Logarithmus und vereinfache diesen so weit wie möglich.

$2 \log_{a} (x + 1) + \log_{a} (\frac{1}{x^{2} - 1})$

$2 \log (u) + \frac{1}{2} [\log (u + v) + \log (u - v)]$

$\log (ab) + \log (\frac{a}{b}) - \log {(ab)}^{2}$

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	$2 \log_{a} (x + 1) + \log_{a} (\frac{1}{x^{2} - 1})$
	↓ Verwende $\log_{b} (u^{r}) = r \cdot \log_{b} u$
$=$	$\log_{a} ({(x + 1)}^{2}) + \log_{a} (\frac{1}{x^{2} - 1})$
	↓ Verwende $\log_{b} u + \log_{b} v = \log_{b} (u \cdot v)$
$=$	$\log_{a} ({(x + 1)}^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1})$
	↓ Schreibe als einen Bruch und wende die 3. binomische Formel an
$=$	$\log_{a} (\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)})$
	↓ Kürze
$=$	$\log_{a} (\frac{x + 1}{x - 1})$

$\log_{b} 5$	$=$	$0,5$
	↓	Wende die Definition des Logarithmus an.
$b^{0,5}$	$=$	$5$
	↓	Quadriere beide Seiten.
${(b^{0,5})}^{2}$	$=$	$5^{2}$
	↓	Verwende das Potenzgesetz ${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ .
$b^{0,5 \cdot 2}$	$=$	$25$
$b$	$=$	$25$

$\log_{b} (\frac{1}{25})$	$=$	$2$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$b^{2}$	$=$	$\frac{1}{25}$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass die Basis $b$ positiv sein muss.
$b$	$=$	$\frac{1}{5}$
$b$	$=$	$0,2$

$2 \log u + \frac{1}{2} [\log (u + v) + \log (u - v)]$	$=$	$\log u^{2} + \frac{1}{2} [\log (u + v) + \log (u - v)]$
	↓	Wende die Produktregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log u^{2} + \frac{1}{2} [\log ((u + v) \cdot (u - v))]$
	↓	Wende die 3. Binomische Formel an.
	$=$	$\log u^{2} + \frac{1}{2} \log (u^{2} - v^{2})$
	↓	Wende die Potenzregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log u^{2} + \log (u^{2} - v^{2})^{\frac{1}{2}}$
	↓	Wende $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ an.
	$=$	$\log u^{2} + \log (\sqrt{u^{2} - v^{2}})$
	↓	Wende die Produktregel für Logarithmus an und fasse somit beide Logarithmen zu einem Logarithmus zusammen.
	$=$	$\log (u^{2} \sqrt{u^{2} - v^{2}})$

$(n + 1) \cdot \log x - \frac{1}{3} \cdot \log (x^{6 n})$	$=$	$\log x^{n + 1} - \log x^{2 n}$
	↓	Wende die Quotientenregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log \frac{x^{n + 1}}{x^{2 n}}$
	↓	Wende innerhalb des Logarithmus das zweite Potenzgesetz an.
	$=$	$\log x^{1 - n}$

$\log (ab) + \log (\frac{a}{b}) - \log {(ab)}^{2}$	$=$	$\log (\frac{a \cdot b \cdot a}{b}) - \log {(ab)}^{2}$
	↓	Kürze den Logarithmus und ziehe das Quadrat in die Klammer.
	$=$	$\log a^{2} - \log (a^{2} b^{2})$
	↓	Wende die Quotientregel des Logarithmus an.
	$=$	$\log \frac{a^{2}}{a^{2} b^{2}}$
	↓	Kürze den Logarithmus.
	$=$	$\log \frac{1}{b^{2}}$