Aufgaben zu Extremwerten

Stelle die allgemeine Flächenformel eines Rechtecks auf.

$\mathrm{A}=\mathrm{a}\cdot \mathrm{b}$

Bestimme b. Benutze dazu, dass das ganze Dreieck ähnlich zu dem schraffierten Dreieck ist und berechne mit dem SWS-Satz (oder: Strahlensatz V-Figur) die Seite b.

Dies ist nun die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von a.

Bestimme nun den maximalen Flächeninhalt.

Bestimme die Nullstellen der Funktion.

$\Rightarrow {\mathrm{a}}_1=0$

Betrachte den 2. Faktor:

$\Rightarrow {\mathrm{a}}_2=21$

Bestimme die Stelle, an der der Scheitelpunkt liegt (Mitte der Nullstellen).

$\Rightarrow$   Scheitel bei $\mathrm{a}=\mathrm{10,5}$

Formuliere einen Antwortsatz.

Für $\mathrm{a}=\mathrm{10,5}$ wird der Flächeninhaltdes Rechtecks maximal.

Für das gleichschenklige Dreieck mit der Spitze $P$ gilt:

Grundlinie = $2\cdot x_P$

Höhe = $y_P$

Für die Dreiecksfläche ergibt sich also:

$A_{Dreieck}=x_P\cdot y_P$

Gib die Zielfunktion und die Nebenbedingung für die Extremumsaufagbe an.

Zielfunktion

$${\displaystyle A_{Dreieck}=x_P\cdot y_P}$$

Nebenbedingung

Der Punkt $P(x_P|y_P)$ liegt auf der Strecke $[AB]$.

Ermittle die Geradengleichung $AB$.

allgemeiner Ansatz einer Geradengleichung:

$\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{mx}+\mathrm{t}$

Bestimme den y-Achsenabschnitt $t$, indem du abliest, wo der Graph die y-Achse schneidet.

$\Rightarrow \mathrm{t}=6$

Bestimme die Steigung m, indem du ein Steigungsdreieck benutzt:

Gehe von irgendeinem Geradenpunkt $1LE$ nach rechts und lies ab, wie viele Einheiten du nach unten gehen musst, um wieder auf den Funktionsgraphen zu treffen.

$\Rightarrow \mathrm{m}=-\mathrm{1,5}$

Setze die Werte $m$ und $t$ in die Funktionsgleichung ein.

$\Rightarrow \mathrm{g}(\mathrm{x})=-\mathrm{1,5}\mathrm{x}+6$

Gib noch den Definitionsbereich $D_g$ an, mit dem die Gerade $g$ auf die Strecke $[AB]$ begrenzt wird.

$D_g=[0;4]$

Gib nun die Nebenbedingung als Funktionsgleichung für den Punkt $P(x_P|y_P)$ an.

Nebenbedingung

$y_P=-\mathrm{1,5}\cdot x_P+6$

Zielfunktion

$A(x_P;y_P)=x_P\cdot y_P$

Setze $y_P$ der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.

$A(x_P)=-\mathrm{1,5}\cdot x_P^2+6\cdot x_P$

Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel.

Ihr Maximum lässt sich über die Scheitelform durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.

$\begin{array}{rcl}A(x_P)& =& -\mathrm{1,5}(x_P^2-4x_P)\\ & =& -\mathrm{1,5}(x_P^2-4x_P+2^2)+6\\ & =& -\mathrm{1,5}(x_P-2{)}^2+6\end{array}$

Lies den Scheitelpunkt ab.

$\Rightarrow \mathrm{S}\left(2|6\right)$

Gib die Bedeutung der Koordinaten des Scheitelpunktes an.

$\Rightarrow$ Bei ${\mathrm{x}}_{\mathrm{p}}=2$ ist der Flächeninhalt $6\text{LE}$ und dies ist der gesuchte größtmögliche Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks.

Bestimme aus der Nebenbedingung den y-Wert des Punktes $P$.

${\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}=-\mathrm{1,5}\cdot 2+6=3$

Gib den gesuchten Punkt $P$ und den maximalen Flächeninhalt in einem Antwortsatz an.

Für den Punkt $\mathrm{P}\left(2|3\right)$ ist der Flächeninhalt des darunterliegenden Dreiecks maximal und er beträgt $6\mathrm{FE}$.

$\begin{array}{rcl}A(x_P)& =& -\mathrm{1,5}{x}_P^2+6x_P\\ A^{\prime }(x_P)& =& -3x_P+6\end{array}$

Setze $A^{\prime }(x_P)$ gleich Null und löse nach $x_P$ auf.

Setze den Wert in $A(x_P)$ und in die Nebenbedingung $y=-\mathrm{1,5}\cdot x_P+6$ ein und du hast die Lösung der Aufgabe.