Aufgaben zu Extremwerten

Ein Punkt $P (x_{P} | y_{P})$ gleite auf der Strecke $[A B]$ mit $A (0 | 6)$ und $B (4 | 0)$ .

Er ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer festen Ecke im Koordinatenursprung.

Für welchen Punkt $P$ hat das Dreieck den größtmöglichen Flächeninhalt? Wie groß ist dieser?

Im nachfolgenden Applet kannst du - bevor du rechnest - experimentieren.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben

Für das gleichschenklige Dreieck mit der Spitze $P$ gilt:

Grundlinie = $2 \cdot x_{P}$

Höhe = $y_{P}$

Für die Dreiecksfläche ergibt sich also:

$A_{D r e i e c k} = x_{P} \cdot y_{P}$

Skizze der Situation im Koordinatensystem

Gib die Zielfunktion und die Nebenbedingung für die Extremumsaufagbe an.

Zielfunktion

$A_{D r e i e c k} = x_{P} \cdot y_{P}$

Nebenbedingung

Der Punkt $P (x_{P} | y_{P})$ liegt auf der Strecke $[A B]$ .

Ermittle die Geradengleichung $A B$ .

allgemeiner Ansatz einer Geradengleichung:

$g (x) = mx + t$

Bestimme den y-Achsenabschnitt $t$ , indem du abliest, wo der Graph die y-Achse schneidet.

$\Rightarrow t = 6$

Bestimme die Steigung m, indem du ein Steigungsdreieck benutzt:

Gehe von irgendeinem Geradenpunkt $1 L E$ nach rechts und lies ab, wie viele Einheiten du nach unten gehen musst, um wieder auf den Funktionsgraphen zu treffen.

$\Rightarrow m = - 1,5$

Setze die Werte $m$ und $t$ in die Funktionsgleichung ein.

$\Rightarrow g (x) = - 1,5 x + 6$

Gib noch den Definitionsbereich $D_{g}$ an, mit dem die Gerade $g$ auf die Strecke $[A B]$ begrenzt wird.

$D_{g} = [0; 4]$

Gib nun die Nebenbedingung als Funktionsgleichung für den Punkt $P (x_{P} | y_{P})$ an.

Nebenbedingung

$y_{P} = - 1,5 \cdot x_{P} + 6$

Zielfunktion

$A (x_{P}; y_{P}) = x_{P} \cdot y_{P}$

Setze $y_{P}$ der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.

$A (x_{P}) = - 1,5 \cdot x_{P}^{2} + 6 \cdot x_{P}$

Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel.

Ihr Maximum lässt sich über die Scheitelform durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.

$\begin{array}{rcl} A (x_{P}) & = & - 1,5 (x_{P}^{2} - 4 x_{P}) \\ = & - 1,5 (x_{P}^{2} - 4 x_{P} + 2^{2}) + 6 \\ = & - 1,5 (x_{P} - 2)^{2} + 6 \end{array}$

Lies den Scheitelpunkt ab.

$\Rightarrow S (2 | 6)$

Gib die Bedeutung der Koordinaten des Scheitelpunktes an.

$\Rightarrow$ Bei $x_{p} = 2$ ist der Flächeninhalt $6 LE$ und dies ist der gesuchte größtmögliche Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks.

Bestimme aus der Nebenbedingung den y-Wert des Punktes $P$ .

$y_{p} = - 1,5 \cdot 2 + 6 = 3$

Gib den gesuchten Punkt $P$ und den maximalen Flächeninhalt in einem Antwortsatz an.

Für den Punkt $P (2 | 3)$ ist der Flächeninhalt des darunterliegenden Dreiecks maximal und er beträgt $6 FE$ .

Weitere Lösungsmöglichkeit über die Ableitung von $A (x_{P})$

$\begin{array}{rcl} A (x_{P}) & = & - 1,5 x_{P}^{2} + 6 x_{P} \\ A^{'} (x_{P}) & = & - 3 x_{P} + 6 \end{array}$

Setze $A^{'} (x_{P})$ gleich Null und löse nach $x_{P}$ auf.

$A^{'} (x)$	$=$	$0$
$- 3 x_{P} + 6$	$=$	$0$	$+ 3 x_{P}$
$6$	$=$	$3 x_{P}$	$: 3$
$2$	$=$	$x_{P}$

Setze den Wert in $A (x_{P})$ und in die Nebenbedingung $y = - 1,5 \cdot x_{P} + 6$ ein und du hast die Lösung der Aufgabe.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch → Was bedeutet das? serlo.org

Aufgaben zu Extremwerten

Weitere Lösungsmöglichkeit über die Ableitung von A(xP)

Weitere Lösungsmöglichkeit über die Ableitung von $A (x_{P})$