A1

1
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = x^{3} - x$ .
Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt $f$ dar.
Abbildung 1
Geben Sie die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründen Sie ihre Angabe.
(2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert
Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe
Betrachte das Verhalten des Graphen von $f (x) = x^{3} - x$ für $x$ gegen unendlich.
Es ist $\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ .
Demnach entfällt Graph II (hier gilt $\lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty$ ).
Graph III gehört nicht zu einer ganzrationalen Funktion.
Betrachte das Verhalten des Graphen von $f (x) = x^{3} - x$ für $x$ gegen unendlich.
Ein Graph gehört nicht zu einer ganzrationalen Funktion.

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen.
$[$ Hinweis: Die Nullstellen dürfen dabei der obigen Abbildung 1 entnommen werden. $]$
(3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen
Die abgelesenen Nullstellen des Graphen von $f$ sind $x = - 1$ bzw. $x = 1$ .
Wegen der Punktsymmetrie des Graphen von $f$ gilt:
$A = 2 \cdot \int_{- 1}^{0} f (x) d x = 2 \cdot {[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 1}^{0} = 2 \cdot (0 - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen, beträgt $\frac{1}{2} FE$ .
Lies die Nullstellen des Graphen von $f$ ab und berücksichtige bei der Flächenberechnung die Punktsymmetrie des Graphen von $f$ .
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = (x + 2) \cdot e^{- x + 4}, x \in ℝ$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 2 dargestellt.
Abbildung 2
Die Funktion $f$ besitzt genau eine Extremstelle.
Ermitteln Sie die Extremstelle von $f$ .
$[$ Hinweis: Die Größe der y-Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben. $]$
(3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Ermittle die Extremstelle von $f$
Gegeben ist $f (x) = (x + 2) \cdot e^{- x + 4}$ .
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
$f^{'} (x) = 1 \cdot e^{- x + 4} + (x + 2) \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1) = - (x + 1) \cdot e^{- x + 4}$
$f^{'} (x) = 0 \Rightarrow 0 = - (x + 1) \cdot e^{- x + 4}$
Weil $e^{- x + 4} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$
Die Funktion $f$ hat für $x = - 1$ genau eine lokale Extremstelle.
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$ .
$[$ Hinweis: Die Größe der y-Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben. $]$
(2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Skizziere in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$
Abbildung 2
An der Extremstelle von $f$ ist $f^{'} (x) = 0$ .
Beim Wendepunkt von $f$ hat der Graph von $f^{'}$ einen Tiefpunkt.
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Für jedes $a \in ℝ$ ist durch die Gleichung $f_{a} (x) = (x + 2) (2 x + a) \cdot e^{x}, x \in ℝ$ , eine Funktion $f_{a}$ gegeben.
Geben Sie die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1} (x) = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$ an. (1 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Gib die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1} (x) = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$ an
Gegeben ist $f_{1} (x) = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$ .
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
$0 = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$
Weil $e^{- x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$\Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2 \lor 2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}$
Demnach sind $x = - 2$ und $x = - \frac{1}{2}$ die beiden Nullstellen.
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
Benutze dabei den Satz vom Nullprodukt.

In Abbildung 3 ist der Graph der Funktion $f_{a}$ für ein konkretes $a$ abgebildet.
Begründen Sie, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$ . (2 P)
Abbildung 3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$
Für $a = 0$ erhält man die Funktion $f_{0} (x) = (x + 2) (2 x) \cdot e^{x}$ .
Der Graph von $f_{0}$ hat die beiden Nullstellen $x = - 2$ und $x = 0$ .
(Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt, siehe auch Aufgabe a.)
Dies stimmt mit der gegebenen Abbildung 3 überein.
In Abbildung 3 ist der Graph von $f_{0}$ abgebildet.
Für $a = 0$ erhält man die Funktion $f_{0} (x) = (x + 2) (2 x) \cdot e^{x}$ .
Welche Nullstellen hat der Graph von $f_{0}$ ?
Vergleiche mit Abbildung 3.

Ermitteln Sie, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Ermittle, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt
Gegeben ist der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ .
Setze die Koordinaten von $P$ in $f_{a} (x) = (x + 2) (2 x + a) \cdot e^{x}$ ein:
$40 e^{3}$ $=$ $(3 + 2) (2 \cdot 3 + a) \cdot e^{3}$
↓
Vereinfache.
$40 e^{3}$ $=$ $5 \cdot (6 + a) \cdot e^{3}$ $: e^{3}$
$40$ $=$ $30 + 5 a$ $- 30$
$10$ $=$ $5 a$ $: 5$
$2$ $=$ $a$
Für $a = 2$ liegt der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ auf dem Graphen der Funktion $f_{2}$ .
Setze die Koordinaten von $P$ in $f_{a}$ ein und löse nach $a$ auf.
4
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Gegeben sind die Punkte $A$ und $B$ mit den Koordinaten $A (3 | 4 | 2)$ und $B (8 | - 11 | 12)$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6,5 \\ - 6,5 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 7 \\ 21 \\ - 14 \end{array}), r \in ℝ$
Geben Sie eine Gleichung der Geraden $h$ an, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft.
(1 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Gib eine Gleichung der Geraden $h$ an, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft
Gegeben sind $A (3 | 4 | 2)$ und $B (8 | - 11 | 12)$ .
Dann folgt für die Gerade $h_{A B}$ :
$h_{A B} : \vec{x} = \vec{O A} + s \cdot \vec{A B} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + s \cdot ((\begin{array}{c} 8 \\ - 11 \\ 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}))$
$\Rightarrow h_{A B} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ - 15 \\ 10 \end{array})$
Die Gleichung der Geraden $h$ , die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft, lautet
$h_{A B} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ - 15 \\ 10 \end{array})$ .
Gegeben sind $A (3 | 4 | 2)$ und $B (8 | - 11 | 12)$ .
Dann folgt für die Gerade $h_{A B}$ : $h_{A B} : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B}$ .

Weisen Sie nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt.
Untersuchen Sie die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Weise nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt
Gegeben sind $A (3 | 4 | 2)$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6,5 \\ - 6,5 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 7 \\ 21 \\ - 14 \end{array})$ .
Prüfe, ob $A \in g$ :
$(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6,5 \\ - 6,5 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 7 \\ 21 \\ - 14 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} - 3,5 \\ 10,5 \\ - 7 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} - 7 \\ 21 \\ - 14 \end{array})$
Für $r = \frac{1}{2}$ erhält man eine Lösung der Gleichung.
$\Rightarrow$ Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$ .
Untersuche die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander
Gegeben sind $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6,5 \\ - 6,5 \\ 9 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 7 \\ 21 \\ - 14 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ - 15 \\ 10 \end{array})$ .
Untersuche die Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit, d.h. ist der Richtungsvektor $\vec{u} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 15 \\ 10 \end{array})$ der Geraden $h$ ein Vielfaches des Richtungsvektors $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 7 \\ 21 \\ - 14 \end{array})$ der Geraden $g$ :
$(\begin{array}{c} 5 \\ - 15 \\ 10 \end{array}) = t \cdot (\begin{array}{c} - 7 \\ 21 \\ - 14 \end{array})$ $\Rightarrow$ Für $t = - \frac{5}{7}$ erhält man eine Lösung der Gleichung.
Die Geraden sind parallel zueinander und da der Punkt $A \in g$ und $A \in h$ ist, sind die beiden Geraden identisch.
Teil 1
Prüfe, ob $A \in g$ .
Hat die Gleichung eine eindeutige Lösung, dann liegt der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ .
Teil 2
Untersuche die Richtungsvektoren der beiden Geraden auf lineare Abhängigkeit.
Wird die lineare Abhängigkeit festgestellt, prüfe, ob die Geraden identisch sind.

Geben Sie eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet.
(1 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Gib eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet
Nach Aufgabe b) gilt: Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$ .
Damit kann mit dem Punkt $A$ und einem beliebigen Richtungsvektor eine Geradengleichung $j$ angegeben werden, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet.
$j : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
Nach Aufgabe b) gilt: Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$ .
Damit kann mit dem Punkt $A$ und einem beliebigen Richtungsvektor eine Geradengleichung $j$ angegeben werden, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet.
5
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
Gegeben sind die Punkte $A (5 | 0 | z)$ und $B (2 | 4 | 5)$ .
Der Koordinatenursprung wird mit $O$ bezeichnet.
Bestimmen Sie denjenigen Wert von $z$ , für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Bestimme denjenigen Wert von $z$ , für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben
Gegeben sind die Punkte $A (5 | 0 | z)$ und $B (2 | 4 | 5)$ .
Dann gilt für ihren Abstand:
$d_{A B} = | \vec{A B} |$
Dieser Abstand soll $5$ betragen $\Rightarrow d_{A B} = \sqrt{(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - z)^{2}} = 5$ .
$\sqrt{(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - z)^{2}}$ $=$ $5$ $()^{2}$
↓
Beseitige die Wurzel.
$(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - z)^{2}$ $=$ $25$
↓
Vereinfache.
$9 + 16 + 25 - 10 z + z^{2}$ $=$ $25$ $- 25$
$z^{2} - 10 z + 25$ $=$ $0$
↓
Wende eine binomische Formel an.
$(z - 5)^{2}$ $=$ $0$
Die quadratische Gleichung hat die Lösung $z = 5$ .
Für $z = 5$ haben $A$ und $B$ den Abstand $5$ .
Gegeben sind die Punkte $A (5 | 0 | z)$ und $B (2 | 4 | 5)$ .
Dann gilt für ihren Abstand: $d_{A B} = | \vec{A B} |$
Dieser Abstand soll $5$ betragen.
Löse die entsprechende Gleichung nach $z$ auf.

Ermitteln Sie denjenigen Wert von $z$ , für den das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Ermittle denjenigen Wert von $z$ , für den das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist
Man erhält im Punkt $B$ einen rechten Winkel, wenn $\vec{A B} \circ \vec{O B} = 0$ ist.
Es sind $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 2 - 5 \\ 4 - 0 \\ 5 - z \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 5 - z \end{array})$ und $\vec{O B} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array})$ .
$\Rightarrow \vec{A B} \circ \vec{O B} = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 5 - z \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array}) = - 6 + 16 + (5 - z) \cdot 5 = 0$
$\Rightarrow 10 + 25 - 5 z = 0 \Rightarrow 35 = 5 z \Rightarrow z = 7$
Für $z = 7$ ist das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig.
Man erhält im Punkt $B$ einen rechten Winkel, wenn $\vec{A B} \circ \vec{O B} = 0$ ist.
Berechne das Skalarprodukt und löse nach $z$ auf.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$40 e^{3}$	$=$	$(3 + 2) (2 \cdot 3 + a) \cdot e^{3}$
	↓	Vereinfache.
$40 e^{3}$	$=$	$5 \cdot (6 + a) \cdot e^{3}$	$: e^{3}$
$40$	$=$	$30 + 5 a$	$- 30$
$10$	$=$	$5 a$	$: 5$
$2$	$=$	$a$

$\sqrt{(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - z)^{2}}$	$=$	$5$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel.
$(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - z)^{2}$	$=$	$25$
	↓	Vereinfache.
$9 + 16 + 25 - 10 z + z^{2}$	$=$	$25$	$- 25$
$z^{2} - 10 z + 25$	$=$	$0$
	↓	Wende eine binomische Formel an.
$(z - 5)^{2}$	$=$	$0$

A1

Aufgabe 1

Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe

Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse einschließen

Aufgabe 2

Ermittle die Extremstelle von f

Skizziere in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von f

Aufgabe 3

Gib die Nullstellen der Funktion f1 mit f1(x)=(x+2)(2x+1)⋅ex an

Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: a=0

Ermittle, für welchen Wert von a der Punkt P(3|40e3) auf dem Graphen der Funktion fa liegt

Aufgabe 4

Gib eine Gleichung der Geraden h an, die durch die Punkte A und B verläuft

Weise nach, dass der Punkt A auf der Geraden g liegt

Untersuche die Lage der Geraden g und h zueinander

Gib eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade g im Punkt A schneidet

Aufgabe 5

Bestimme denjenigen Wert von z, für den A und B den Abstand 5 haben

Ermittle denjenigen Wert von z, für den das Dreieck OAB im Punkt B rechtwinklig ist

Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen

Ermittle die Extremstelle von $f$

Skizziere in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von $f$

Gib die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1} (x) = (x + 2) (2 x + 1) \cdot e^{x}$ an

Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$

Ermittle, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P (3 | 40 e^{3})$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt

Gib eine Gleichung der Geraden $h$ an, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft

Weise nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt

Untersuche die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander

Gib eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet

Bestimme denjenigen Wert von $z$ , für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben

Ermittle denjenigen Wert von $z$ , für den das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist