Aufgaben zur Basis

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Prüfe, ob es sich bei $B = {b_{1}; b_{2}; b_{3}}$ um eine Basis des $ℝ^{3}$ handelt.
$B = {(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}); (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}); (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 4 \end{array})}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Basis eines Vektorraums
Die drei Vektoren bilden eine Basis, wenn sie nicht komplanar sind, also nicht in einer Ebene liegen.
Zeige dafür, dass $r_{1} \cdot \vec{b_{1}} + r_{2} \cdot \vec{b_{2}} = \vec{b_{3}}$ keine Lösung hat.
$r_{1} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r_{2} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 4 \end{array})$
Daraus entsteht ein überbestimmtes System mit drei Gleichungen, aber nur zwei Unbekannten:
$\begin{aligned} I) & 2 r_{1} = - 1 \\ I I) & r_{1} - r_{2} = 1 \\ I I I) & r_{1} - 2 r_{2} = 4 \end{aligned}$
Beim überbestimmten System kannst du eine Gleichung während der Berechnung ignorieren und setzt dann die gefundenen Ergebnisse am Ende in diese Gleichung ein.
Ignoriere zunächst die Gleichung III und teile die Gleichung I durch 2:
$I) r_{1} = - \frac{1}{2}$
Setze in Gleichung II ein:
$- \frac{1}{2} - r_{2}$ $=$ $1$ $+ \frac{1}{2}; \cdot (- 1)$
$r_{2}$ $=$ $- 1,5$
Setze die gefundene Lösung in Gleichung III ein:
$\begin{array}{l} I I I) - \frac{1}{2} - 2 \cdot (- 1,5) = 4 \\ I I I) 2,5 \neq 4 \end{array}$
Das System hat also keine Lösung, da die dritte Gleichung keine wahre Aussage liefert.
Damit sind die drei Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis.
Du musst zeigen, dass die drei Vektoren nicht in einer Ebene liegen.
Am einfachsten geht das, indem du zeigst, dass sich einer der Vektoren nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt.

$B = {(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 9 \end{array}); (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ - 3 \end{array}); (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ - 9 \end{array})}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Basis eines Vektorraums
Die drei Vektoren bilden eine Basis, wenn sie nicht komplanar sind, also nicht in einer Ebene liegen.
Zeige dafür, dass $r_{1} \cdot \vec{b_{1}} + r_{2} \cdot \vec{b_{2}} = \vec{b_{3}}$ keine Lösung hat.
$r_{1} \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 9 \end{array}) + r_{2} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ - 9 \end{array})$
Daraus entsteht ein überbestimmtes System mit drei Gleichungen, aber nur zwei Unbekannten:
$\begin{aligned} I) & 3 r_{1} - r_{2} = - 3 \\ I I) & r_{1} = 1 \\ I I I) & 9 r_{1} - 3 r_{2} = - 9 \end{aligned}$
Beim überbestimmten System kannst du eine Gleichung während der Berechnung ignorieren und setzt dann die gefundenen Ergebnisse am Ende in diese Gleichung ein.
Da Gleichung II) direkt die Lösung $r_{1} = 1$ liefert, kannst du diese in Gleichung I) einsetzen:
$3 \cdot 1 - r_{2}$ $=$ $- 3$ $- 3; \cdot (- 1)$
$r_{2}$ $=$ $6$
Setze beide Werte in Gleichung III ein:
$I I I) 9 \cdot 1 - 3 \cdot 6 = - 9$
$I I I) - 9 = - 9$
Da das System somit eine eindeutige Lösung hat, sind die drei Vektoren linear abhängig und liegen in einer Ebene. Drei linear abhängige Vektoren bilden keine Basis des $ℝ^{3}$ .
Du musst überprüfen, dass die drei Vektoren nicht in einer Ebene liegen.
Am einfachsten geht das, indem du zeigst, dass sich einer der Vektoren nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt.

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$- \frac{1}{2} - r_{2}$	$=$	$1$	$+ \frac{1}{2}; \cdot (- 1)$
$r_{2}$	$=$	$- 1,5$