Basis eines Vektorraums

Bedeutung

• minimales: Lässt man einen Vektor des Erzeugendensystem weg, wäre es kein Erzeugendensystem mehr.

• Erzeugendensystem: Artikel zum Thema$\to$ Eine Basis des ${ℝ}^n$ besteht also aus $n$ linear unabhängigen Vektoren!

Überprüfung, ob eine Menge von Vektoren eine Basis ist

Die folgenden beiden Eigenschaften müssen erfüllt sein, damit eine Menge von Vektoren eine Basis eines Vektorraumes ist.

1. Die Anzahl der Vektoren stimmt überein mit der Dimension des Vektorraumes.

2. Die Vektoren sind linear unabhängig.

   $\to$ Eine Basis des ${ℝ}^n$ besteht also aus $n$ linear unabhängigen Vektoren!

Allgemeines

• Ein Vektorraum hat normalerweise viele verschiedene Basen. Zwischen ihnen kann man mit einer Koordinatentransformation wechseln.

• Gewöhnlich verwendet man die (kanonische) Einheitsbasis. Sie besteht aus den Einheitsvektoren $\overrightarrow{e_1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\overrightarrow{e_2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\overrightarrow{e_3}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

• Die Koordinaten eines Vektors sind die Linearfaktoren der zugehörigen Basis. Zum Beispiel: $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ 3\end{array}\right)=\mathrm{𝟕}\cdot \overrightarrow{e_1}+\mathrm{𝟓}\cdot \overrightarrow{e_2}+\mathrm{𝟑}\cdot \overrightarrow{e_3}$. Für andere Basen sind dann natürlich auch die Vektorkoordinaten unterschiedlich, um denselben Vektor zu beschreiben.

• Es ist also notwendig an den Vektor zu schreiben, auf welche Basis man sich bezieht, um Verwechslungen auszuschließen. Zum Beispiel  ${\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)}_B$ falls $B$ eine Basis des Vektorraumes ist. Steht am Vektor keine Vermerkung zur Basis, so kann man davon ausgehen, dass es sich um die Einheitsbasis handelt.