Heft 1

Die Kanten $\overline{AB}$, $\overline{EF}$, $\overline{AD}$ und $\overline{EH}$ stehen senkrecht auf der Kante $\overline{AE}$.

Zuordnungen werden als antiproportional bezeichnet, wenn das Produkt einander zugeordneter Werte immer gleich ist.

$x$: gesuchte Dauer in Stunden

$60\cdot x=15\cdot 100$

$x=1500:60=25$

Hinweis:

Das Rechnen im Kopf wird einfacher, wenn du in $60\cdot x=15\cdot 100$ erst mit $15$ kürzt, dann steht da noch $4\cdot x=100$, und wenn du dann noch beide Seiten durch $4$ teilst, hast du die Lösung.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn soll $20\%$ betragen.

Dazu rechnen wir um: $20\%=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$

Ein mögliches Glücksspiel wäre ein Glücksrad mit 5 gleich großen Feldern, die mit den Zahlen von 1 bis 5 beschriftet sind. Das Feld für den Gewinn trägt z.B. die Zahl 5. Der Gewinn wird dann erzielt, wenn das Rad bei der Zahl 5 stehen bleibt.

Da das Glücksrad 5 Felder hat, ist die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne der 5 Zahlen $\frac{1}{5}=20\%$

Arithmetisches Mittel: ${\displaystyle \frac{{\text{Wert}}_1+{\text{Wert}}_2+{\text{Wert}}_3+\dots }{\text{Anzahl der Werte}}}$

Arithmetisches Mittel: ${\displaystyle \frac{5+20+15+10+12+15+21}{7}}={\displaystyle \frac{98}{7}}=14$

Das arithmetische Mittel der Zahlen $5;20;15;10;12;15;21$ lautet $14$.

Median: Der Median teilt eine Liste von Zahlen in zwei Hälften. Er ist wie in diesem Fall die Mitte der Liste:

Sortiere die Zahlen der Größe nach: $5,10,12,15,15,20,21$

Der Median ist $15$.

Das Erraten der letzten Ziffer der PIN ist ein mehrstufiges Laplace Zufallsexperiment.

Die Wahrscheinlichkeit, eine der zehn möglichen Ziffern von $0$ bis $9$ korrekt zu erraten, beträgt ${\displaystyle \frac{1}{10}}$

Wahrscheinlichkeit falsch zu wählen

Damit ist die Wahrscheinlichkeit $P_1$, eine falsche Ziffer zu wählen $1-{\displaystyle \frac{1}{10}}={\displaystyle \frac{9}{10}}$

Beim zweiten Versuch bleiben noch $9$ Ziffern, aus denen gewählt werden kann. Die Wahrscheinlichkeit $P_2$, eine falsche Ziffer zu wählen, beträgt dann $1-{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$

Wahrscheinlichkeit zweimal falsch zu wählen

Die Wahrscheinlichkeit $P$ sowohl im ersten als auch im zweiten Versuch falsch zu raten wird dann mit der 1. Pfadregel errechnet

$P=P_1\cdot P_2={\displaystyle \frac{9}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{9}}={\displaystyle \frac{72}{90}}$

Die zweite Option ist korrekt.

Trage in $D$ den Winkel $\delta =50°$ an. Zeichne nun eine Parallele zu $AD$ durch $B$. Der Schnittpunkt des freien Schenkels von $\delta$ mit der Parallenen zu $AD$ durch $B$ ist der gesuchte Punkt $C$ des Trapezes $ABCD$. Verbinde den Punkt $C$ mit den Punkten $B$ und $D$.

1) Potenzgesetze: Sonderfall $a^0=1$ bei beliebiger Basis $a\ne 0$

$\Rightarrow$ Die Aussage ${14}^0=1$ ist wahr.

2) ${\displaystyle \frac{2}{3}}=2:3\approx \mathrm{0,66}=66\%$

$\Rightarrow$ Die Aussage ${\displaystyle \frac{2}{3}}=60\%$ ist falsch.

3) Wurzelgesetze: $\sqrt{a}\cdot \sqrt{\mathrm{b}}=\sqrt{a\cdot b}$

$\sqrt{4}\cdot \sqrt{25}=\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt{1}00=10$

$\Rightarrow$ Die Aussage $\sqrt{4}\cdot \sqrt{25}=10$ ist wahr.

4) Potenzgesetze: $(2^2{)}^3=4^3=64$ oder $(2^2{)}^3=2^6=64$

$\Rightarrow$ Die Aussage $(2^2{)}^3=64$ ist wahr.

Normalform: $f\left(x\right)={ax}^2+bx+c$

Scheitelform: $f\left(x\right)=a(x-d{)}^2+e$

$f(x)=x^2+6x+10$

Quadratische Ergänzung:

$f(x)=x^2+6x+9+(10-9)$

$f(x)=(x+3{)}^2+1$

$\Rightarrow$ $i(x)=(x+3{)}^2+1$ ist die richtige Funktionsgleichung für die Scheitelform.

$600m^2$ Platzes sind zu Beginn bereits fertig gepflastert. Dies ist ein konstanter Wert,

zu dem stündlich $30m^2$ Pflasterung hinzukommen.

Dieser Zusammenhang wird durch die Gleichung

$f(x)=600+30x$

beschrieben.

Die erste Antwort beschreibt die Situation korrekt.

$A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

$30={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 5\cdot h$

$h={\displaystyle \frac{30\cdot 2}{5}}=12$

Die Höhe des Dreiecks beträgt $12\text{ cm}$.

Ein Würfel ist eine Sonderform des Quaders, bei dem alle Kanten gleich lang sind.

Wird der Würfel in der Mitte zerschnitten, entstehen zwei gleich große Quader, deren Länge genau halb so groß ist wie die Länge des Würfels.

Breite und Höhe bleiben gleich.

Seitenlängen eines Quaders

$a=2$ (Länge)

$b=4$ (Breite)

$c=4$ (Höhe)

Volumen eines Quaders

Das Volumen eines Quaders berechnet sich nach der Formel

$V=l\cdot b\cdot h$

$V=2\cdot 4\cdot 4=32$

Das Volumen eines Quaders beträgt $32c{m}^3$

64 gleich große Quader

Wird jede Kante des Würfels in 4 gleich große Stücke geteilt, dann entstehen $4\cdot 4\cdot 4=64$ gleich große Würfel.

Jeder der Würfel hat eine Kantenlänge von ${\displaystyle \frac{4}{4}}=1$ cm.

Volumen eines Quaders

$V=1\cdot 1\cdot 1=1$

Jeder kleine Würfel hat ein Volumen von $1c{m}^3$

Gesamtzahl der Antworten beim Test

$\text{Anzahl falscher Antworten}+\text{Anzahl richtiger Antworten}=3+4=7$

Anteil falscher Antworten an der Gesamtzahl der Antworten

${\displaystyle \frac{\text{Anzahl falscher Antworten}}{\text{Gesamtzahl der Antworten}}}={\displaystyle \frac{3}{7}}$

Die dritte Option ist korrekt

Berechnung des Funktionswertes für $x=1$

Diese Werte werden auf den Koordinaten eingetragen.

$1+2+3+4+5=15$

Eine Zahl ist genau dann durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist. Die Aussage von Ali stimmt also.

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist.

Addiert man zwei Zahlen, die auf 0 oder 5 enden, ist die Summe immer eine Zahl, die ebenfalls auf 0 oder 5 endet.

Die Summe ist also auch durch 5 teilbar.

(1) In ein Quadrat wird eine Diagonale eingezeichnet.

(b) Es entstehen rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke.

(2) In ein regelmäßiges Sechseck werden drei Diagonalen eingezeichnet

(c) Es entstehen gleichseitige Dreiecke.

(3) In ein gleichseitiges Dreieck wird eine Höhe eingezeichnet.

(a) Es entstehen rechtwinklige, allgemeine Dreiecke.

Setze das Zahlenpaar in die Gleichung ein.

$3\cdot (-7)-2\cdot (-7)+7=-21+14+7=0$

Das Zahlenpaar ist also Lösung der Gleichung.

$\alpha =90°$ (siehe Zeichnung)

Gestreckter Winkel: $3\cdot \beta =180°$ $\Rightarrow \beta =60°$

Winkelsumme im Dreieck: $\alpha +\beta +\gamma =180°$

$\gamma =180°-90°-60°=30°$

$${\displaystyle \text{Geschwindigkeit}=\frac{\text{zurückgelegter Weg}}{\text{benötigte Zeit}}}$$

$v={\displaystyle \frac{24}{80}}=\mathrm{0,3}$

Sie fährt 0,3 Kilometer in jeder Minute.

$${\displaystyle \text{zurückgelegter Weg}=\text{Geschwindigkeit}\cdot \text{benötigte Zeit}}$$

$${\displaystyle \text{zurückgelegter Weg}=\mathrm{0,3}\cdot 45=\mathrm{13,5}}$$

Nach $45$ Minuten ist Ilka bereits $\mathrm{13,5}km$ gefahren.