Pflichtteil - Analysis & Analytische Geometrie / Lineare Algebra

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1
Aufgabe P1
Eine Funktion $f$ ist gegeben durch $f (x) = x^{2} - 6 x, x \in ℝ$ .
Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes an. (2BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
Ableitung der Funktion $f (x)$
$f^{'} (x) = 2 x - 6$
x-Wert des Scheitelpunkts
Wir setzen die Ableitung gleich 0 und lösen die Gleichung:
$2 x - 6$ $=$ $0$ $+ 6$
$2 x$ $=$ $6$ $: 2$
$x$ $=$ $3$
$y$ -Wert
Setze den x-Wert in die Funktion ein, um den y-Wert des Scheitels zu bestimmen:
$f (3) = 3^{2} - 6 \cdot 3$
$= - 9$
Die Koordinaten des Scheitelpunkts sind damit: $S (3 | - 9)$
Hinweis: Einen anderen Lösungsweg findest du hier
Leite die Funktion ab.
Setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung, um den x-Wert des Scheitelpunkts zu finden.
Setze den $x$ -Wert in die ursprüngliche Funktion ein, um den $y$ -Wert zu finden.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im
Punkt $P (- 2 | f (- 2))$ . (3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Allgemeine Geradengleichung
$g (x) = m x + b$
$m$ : Steigung
$b$ : $y$ -Achsenabschnitt
Steigung $f^{'} (- 2)$ und y-Wert $f (- 2)$
$f^{'} (x) = 2 x - 6$
$f^{'} (- 2) = 2 \cdot (- 2) - 6 = - 10$
$f (- 2) = (- 2)^{2} - 6 \cdot (- 2) = 16$
Steigung und y-Achsenabschnitt
Die Steigung $f^{'} (- 2) = - 10$ ist gleich der Steigung $m$ der Tangente:
$g (x) = - 10 x + b$
Um $b$ zu bestimmen, setzen wir den Punkt $P (- 2 | 16)$ ein:
$16$ $=$ $- 10 \cdot (- 2) + b$
$16$ $=$ $20 + b$ $- 20$
$b$ $=$ $- 4$
Die Tangente ist damit: $g (x) = - 10 x - 4$
Schreibe die allgemeine Geradengleichung $g (x) = m x + b$ auf.
Berechne die Steigung $f^{'} (- 2)$ und die y-Koordinate $f (- 2)$ .
Setze die Steigung für $m$ in die Geradengleichung ein.
Setze den Punkt $P$ in die Geradengleichung ein und bestimme $b$ von der Tangente.

Aufgabe P2

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = x^{3} - x$ .

Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt $f$ dar.
Geben Sie die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründen Sie Ihre Angabe. (2BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzierbarkeit
Abbildung II
Abbildung II kann die Funktion $f (x) = x^{3} - x$ nicht darstellen. Betrachte zum Beispiel $f (0,5) = {0,5}^{3} - 0,5 < 0,$ was nicht mit dem Graphen übereinstimmt.
Alternativ kannst du auch argumentieren, dass die Funktionswerte von $f$ für $x \to \infty$ gegen $\infty$ gehen müssen. Das stimmt aber nicht mit der Skizze überein.
Abbildung III
Abbildung III kann die Funktion $f (x) = x^{3} - x$ nicht darstellen da sie an den Stellen $x = - 0,5$ und $x = 0,5$ nicht differenzierbar ist.
Somit stellt Abbildung I die Funktion $f (x)$ dar.
Betrachte die Steigung und die Differenzierbarkeit der Graphen.

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen. (3BE)

3
Aufgabe P3
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = e^{x} + 1$ .
Bestimmen Sie $\int_{0}^{1} f (x) d x$ . (3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Integral der Funktion zwischen $0$ und $1$ :
$\int_{0}^{1} (e^{x} + 1) d x$
↓
Bestimme eine Stammfunktion.
$=$ ${[e^{x} + x]}_{_{0}}^{1}$
↓
Setze ein und berechne den Wert.
$=$ $e^{1} + 1 - (e^{0} + 0)$
↓
$e^{0} = 1$
$=$ $e + 1 - 1$
$=$ $e$
Das Integral zwischen $0$ und $1$ beträgt $e .$
Bestimme eine Stammfunktion.
Berechne das Integral.

Der Graph der Funktion $g$ kann aus dem Graphen von $f$ durch Spiegeln an der $y$ -Achse und Verschieben um 3 in positive $y$ -Richtung erzeugt werden.
Geben Sie einen Funktionsterm von $g$ an. (2BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen
Spiegelung an der $y$ -Achse:
$f (x)$ $=$ $e^{x} + 1$
$g (x)$ $=$ $e^{- x} + 1$
Verschiebung in $y$ -Richtung
$f (x)$ $=$ $e^{- x} + 1$
$g (x)$ $=$ $e^{- x} + 1 + 3$
$=$ $e^{- x} + 4$
Mögliche Funktionsterme für $g$ sind also
$g (x) = e^{- x} + 4$ oder $g (x) = {(\frac{1}{e})}^{x} + 4$ oder $g (x) = \frac{1}{e^{x}} + 4$ .
Spiegle den Graphen an der $y$ -Achse mit der Abbildung $f (x) \mapsto f (- x)$ .
Verschiebung in $y$ -Richtung mit der Abbildung $f (x) \mapsto f (x) + d; d \in ℝ$
4
Aufgabe P4
Gegeben sind die Punkte $A (5 | 0 | a)$ und $B (2 | 4 | 5)$ . Der Koordinatenursprung wird mit $O$ bezeichnet.
Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$ , für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben. (3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte berechnen
Formel für den Abstand im Dreidimensionalen:
$d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}$
Punkte einsetzen:
$d = \sqrt{(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - a)^{2}}$
$d$ $=$ $\sqrt{(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - a)^{2}}$
$=$ $\sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2} + (5 - a)^{2}}$
$=$ $\sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2} + (5 - a)^{2}}$
$=$ $\sqrt{25 + (5 - a)^{2}}$
Abstand $d = 5$ setzen:
$5$ $=$ $\sqrt{25 + (5 - a)^{2}}$ $^{2}$
$25$ $=$ $25 + (5 - a)^{2}$ $- 25$
$0$ $=$ $(5 - a)^{2}$ $\sqrt{}$
$0$ $=$ $5 - a$
$a$ $=$ $5$
Also ist der Wert von $a$ , für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben, $a = 5$ .
Setze die Punkte in die Formel für den Abstand zweier Punkte im Dreidimensionalen ein.
Löse die Gleichung für den Abstand $d = 5$ .

Ermitteln Sie denjenigen Wert von $a$ , für den das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist. (2BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Damit im Punkt $B$ ein rechter Winkel liegt, muss das das Skalarprodukt von $\vec{O B}$ und $\vec{B A}$ gleich $0$ sein.
Vektoren $\vec{O B}$ und $\vec{B A}$
$\vec{O} B = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array}) \vec{B} A = (\begin{array}{c} 5 - 2 \\ 0 - 4 \\ a - 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ a - 5 \end{array})$
Skalarprodukt
$\vec{O B} \cdot \vec{B A} = 2 \cdot 3 + 4 \cdot (- 4) + 5 \cdot (a - 5) = 6 - 16 + 5 (a - 5) = 5 a - 35$
Gleich 0 setzen und nach $a$ auflösen
$5 a - 35$ $=$ $0$ $+ 35_{}$
$5 a$ $=$ $35$ $: 5$
$a$ $=$ $7$
Also ist der Wert von $a$ , für den das Dreieck $O A B$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist, $a = 7.$
Berechne die Vektoren $\vec{O B}$ und $\vec{B A} .$
Berechne das Skalarprodukt.
Setze die Gleichung gleich $0$ und berechne $a$ .
5
Aufgabe P5
Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte $A, B$ und $D$ . Die Grundfläche $O A B C$ ist quadratisch.
Beschreiben Sie die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor $\frac{1}{2} \cdot (\vec{b} - \vec{a})$ gehört. (1BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
Vektor $(\vec{b} - \vec{a})$
Um den Vektor $(\vec{b} - \vec{a})$ zu bestimmen schaut man sich zuerst den Vektor $\vec{b}$ an, der von $O$ bis zum Punkt $B$ verläuft, und subtrahiert dann den Vektor $\vec{a}$ , das heißt wir würden auf den Punkt $C$ landen (da wir den Vektor $\vec{a}$ "rückwärts gehen").
Nun müssen wir aber von dem Vektor $\vec{O C}$ die Hälfte betrachten, da wir ja mit $\frac{1}{2}$ multiplizieren. Wir können zum Beispiel den Mittelpunkt des Vektors $\vec{O C}$ mit $M$ bezeichnen.
Unser gewünschter Vektor wäre dann $\vec{O M} .$
Betrachte zuerst den Vektor $(\vec{b} - \vec{a}) .$
Betrachte dann die Hälfte dieses Vektors.

Der Punkt $P$ hat den Ortsvektor $\frac{1}{2} \vec{b} + \vec{d}$ .
Zeichnen Sie $P$ in die Abbildung ein. (1BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
Punkt P
Zeichne $\frac{1}{2} \vec{b}$ beginnend im Ursprung.
Dann bist du genau im Mittelpunkt des Quadrats $O A B C$ .
Hänge den Vektor $\vec{d}$ an dessen Spitze.
Beginne beim Koordinatenursprung und zeichne $\frac{1}{2}$ $\vec{b}$ ein.
Hänge den Vektor $\vec{d}$ an dessen Spitze an.

Begründen Sie, dass der Wert des Terms $\vec{b} \cdot \vec{O P}$ nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt. (3BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Begründung
Die Vektoren $\vec{b}$ und $\vec{O P}$ können so aufgestellt werden:
$\vec{b} = (\begin{array}{c} a \\ a \\ 0 \end{array})$ , wobei $a$ die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche ist.
$\vec{O P} = (\begin{array}{c} a / 2 \\ a / 2 \\ h \end{array})$ , wobei $h = | \vec{d} |$ die Höhe des Quaders bezeichnet
Das Skalarprodukt ist:
$\vec{b} \cdot \vec{O P} = \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} a^{2} + 0 \cdot h = a^{2}$
Dieser Wert hängt nur von $a$ , also der Seitenlänge der Grundfläche ab.
Untersuche das Skalarprodukt der Vektoren.
Verwende, dass die z-Koordinate des Vektors $\vec{b}$ $0$ ist.

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Pflichtteil - Analysis & Analytische Geometrie / Lineare Algebra

Aufgabe P1

Ableitung der Funktion $f (x)$

x-Wert des Scheitelpunkts

$y$ -Wert

Allgemeine Geradengleichung

Steigung $f^{'} (- 2)$ und y-Wert $f (- 2)$

Steigung und y-Achsenabschnitt

Aufgabe P2

Abbildung II

Abbildung III

Schnittpunkte mit der x-Achse:

Flächenberechnung:

Aufgabe P3

Integral der Funktion zwischen $0$ und $1$ :

Spiegelung an der $y$ -Achse:

Verschiebung in $y$ -Richtung

Aufgabe P4

Punkte einsetzen:

Abstand $d = 5$ setzen:

Vektoren $\vec{O B}$ und $\vec{B A}$

Skalarprodukt

Gleich 0 setzen und nach $a$ auflösen

Aufgabe P5

Vektor $(\vec{b} - \vec{a})$

Punkt P

Begründung

$16$	$=$	$- 10 \cdot (- 2) + b$
$16$	$=$	$20 + b$	$- 20$
$b$	$=$	$- 4$

$x^{3} - x$	$=$	$0$
	↓	Ausklammern
$x (x^{2} - 1)$	$=$	$0$
	↓	$1$ . Nullstelle bei $x_{1} = 0$ , Klammer 0 setzen für $x_{2,3}$
$x^{2} - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
$x^{2}$	$=$	$1$	$\pm \sqrt{}$
	↓
$x_{2,3}$	$=$	$\pm 1$

$A$	$=$	$\int_{- 1}^{0} (x^{3} - x_{}) d x$
	↓	Bestimme eine Stammfunktion.
	$=$	${[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x_{}^{2}]}_{_{- 1}}^{0}$
	↓	In die Klammer wird der rechte Schnittpunkt $(x_{1} = 0)$ eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Schnittpunkt $(x_{2} = - 1)$ gerechnet.
	$=$	$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{2} \cdot 0_{}^{2} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}_{}^{2})$
	↓	Klammern auflösen und zusammenfassen.
	$=$	$- \frac{1}{4} + \frac{1}{2_{}}$
	$=$	$\frac{1}{4}$

	$\int_{0}^{1} (e^{x} + 1) d x$
	↓ Bestimme eine Stammfunktion.
$=$	${[e^{x} + x]}_{_{0}}^{1}$
	↓ Setze ein und berechne den Wert.
$=$	$e^{1} + 1 - (e^{0} + 0)$
	↓ $e^{0} = 1$
$=$	$e + 1 - 1$
$=$	$e$

$f (x)$	$=$	$e^{- x} + 1$
$g (x)$	$=$	$e^{- x} + 1 + 3$
	$=$	$e^{- x} + 4$

$d$	$=$	$\sqrt{(2 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2} + (5 - a)^{2}}$
	$=$	$\sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2} + (5 - a)^{2}}$
	$=$	$\sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2} + (5 - a)^{2}}$
	$=$	$\sqrt{25 + (5 - a)^{2}}$

$5$	$=$	$\sqrt{25 + (5 - a)^{2}}$	$^{2}$
$25$	$=$	$25 + (5 - a)^{2}$	$- 25$
$0$	$=$	$(5 - a)^{2}$	$\sqrt{}$
$0$	$=$	$5 - a$
$a$	$=$	$5$

Pflichtteil - Analysis & Analytische Geometrie / Lineare Algebra

Aufgabe P1

Ableitung der Funktion f(x)

x-Wert des Scheitelpunkts

y-Wert

Allgemeine Geradengleichung

Steigung f′(−2) und y-Wert f(−2)

Steigung und y-Achsenabschnitt

Aufgabe P2

Abbildung II

Abbildung III

Schnittpunkte mit der x-Achse:

Flächenberechnung:

Aufgabe P3

Integral der Funktion zwischen 0 und 1:

Spiegelung an der y-Achse:

Verschiebung in y-Richtung

Aufgabe P4

Punkte einsetzen:

Abstand d=5 setzen:

Vektoren OB→ und BA→

Skalarprodukt

Gleich 0 setzen und nach a auflösen

Aufgabe P5

Vektor (b→−a→)

Punkt P

Begründung

Ableitung der Funktion $f (x)$

$y$ -Wert

Steigung $f^{'} (- 2)$ und y-Wert $f (- 2)$

Integral der Funktion zwischen $0$ und $1$ :

Spiegelung an der $y$ -Achse:

Verschiebung in $y$ -Richtung

Abstand $d = 5$ setzen:

Vektoren $\vec{O B}$ und $\vec{B A}$

Gleich 0 setzen und nach $a$ auflösen

Vektor $(\vec{b} - \vec{a})$