Nachtermin Teil B

geg.: Regional $\stackrel{\wedge}{=}R$; nichtregional $\stackrel{\wedge}{=}nR$; biologisch $\stackrel{\wedge}{=}B$; nichtbiologisch $\stackrel{\wedge}{=}nB$;

$P(R)=p$ % $\Rightarrow P(nR)=(100-p)$%

$P_R(B)=20$% $\Rightarrow P_R(nB)=(100-20)$%$=80$%

$P_{nR}(B)=5$% $\Rightarrow$ $P_{nR}(nB)=(100-5)$%$=95$%

ges.: Baumdiagramm

Ansatz und Rechnung:

Baumdiagramm mit Angabe der prozentualen Anteile der Produkte eines Supermarktes:

geg.: $p=6$ % für Auswahl eines $R+B$ Produktes; $20$ % der Produkte sind $R+B$;

ges.: %-Anteil aller $R$ Produkte

Ansatz und Rechnung:

$6$ % von $R+B\stackrel{\wedge}{=}20$ % von $p$ %

$\Rightarrow 6$ % $=20$ %$\cdot p$ %

Auflösen nach $p$: $\Rightarrow p$ $=\frac{6}{20}=\mathrm{0,3}\stackrel{\wedge}{=}30$ %

$𝕃=\left\{30\right\}$

Der Anteil der regionalen Produkte dieses Supermarktes liegt bei 30 %.

geg.: 15.000 Produkte

ges.: Anzahl der $R+B$ Produkte

Ansatz und Rechnung:

$6$% aller Produkte sind $R+B$

$\Rightarrow 15.000\cdot \mathrm{0,06}=900(R+B)$

Der Supermarkt bietet 900 regionale biologisch erzeugte Produkte an.

geg.: Parabel $p:y=\mathrm{0,25}\cdot x^2-x+2$; Gerade $g:y=\mathrm{0,25}\cdot x-1$

Punkte $A_n(x|\mathrm{0,25}\cdot x-1)$ auf g, Punkte $B_n(x|\mathrm{0,25}\cdot x^2-x+2)$ auf p mit derselben Abszisse $x$ ,

Punkte $C_n$ sind Eckpunkte von $△A_n{B}_n{C}_n$ mit $\overrightarrow{A_n{C}_n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right)$

ges.: Einzeichnen der Dreiecke $A_n{B}_n{C}_n$ für $x=0$ und $x=4$ ins KOSY

Ansatz und Rechnung:

Setze $x=0$ in $A$ und in $B$ ein:

$A_1(0|-1)$

$B_1(0|2)$

Berechne $C_1$:

$\overrightarrow{A_1{C}_1}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right)={\overrightarrow{C}}_1-{\overrightarrow{A}}_1\Rightarrow {\overrightarrow{C}}_1={\overrightarrow{A}}_1+\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\end{array}\right)$

$\Rightarrow C_1(-4|2)$

Setze $x=4$ in $A$ und in $B$ ein:

$A_2(4|0)$

$B_2(4|2)$

Berechne $C_2$:

${\overrightarrow{C}}_2={\overrightarrow{A}}_2+\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right)$

geg.: $A_n(x|\mathrm{0,25}\cdot x-1)$ und $B_n(x|\mathrm{0,25}\cdot x^2-x+2)$

ges.: $|\overrightarrow{A_n{B}_n}(x)|$

Ansatz und Rechnung:

1. Bestimmung des Vektors $\overrightarrow{A_n{B}_n}(x)$ aus den Punkten $A_n(x|\mathrm{0,25}\cdot x-1)$ und $B_n(x|\mathrm{0,25}\cdot x^2-x+2)$

$\overrightarrow{A_n{B}_n}(x)=\left(\begin{array}{c}x\\ \mathrm{0,25}\cdot x^2-x+2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}x\\ \mathrm{0,25}\cdot x-1\end{array}\right)$

$\overrightarrow{A_n{B}_n}(x)=\left(\begin{array}{c}x-x\\ \mathrm{0,25}\cdot x^2-x+2-\mathrm{0,25}\cdot x+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{0,25}\cdot x^2-\mathrm{1,25}\cdot x+3\end{array}\right)$

Anmerkung:

Die $x-$Komponenten von $A_n(x|\mathrm{0,25}x-1)$ und $B_n(x|\mathrm{0,25}{x}^2-x+2)$ sind identisch.

Somit kann auf die obige Vektordarstellung verzichtet werden und die Vektorlängenberechnung allein aus der Addition der $y-$Komponenten erfolgen!

2. Berechnung der Vektorlänge $\overrightarrow{A_n{B}_n}(x)$ nach Pythagoras:

$|\overrightarrow{A_n{B}_n}|(x)=\sqrt{0^2+(\mathrm{0,25}\cdot x^2-\mathrm{1,25}\cdot x+3{)}^2}$

$|\overrightarrow{A_n{B}_n}|(x)=\sqrt{{(\mathrm{0,25}\cdot x^2-\mathrm{1,25}\cdot x+3)}^2}$| Wurzel und Quadrat heben sich auf

$\Rightarrow |\overrightarrow{{𝐀}_{𝐧}{𝐁}_{𝐧}}|(𝐱)=[\mathrm{𝟎,𝟐𝟓}\cdot {𝐱}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟏,𝟐𝟓}\cdot 𝐱+\mathrm{𝟑}]𝐋𝐄$

geg.: $\overrightarrow{A_n{C}_n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right)$ und $|\overrightarrow{A_n{B}_n}|(x)=[\mathrm{0,25}\cdot x^2-\mathrm{1,25}\cdot x+3]LE$

ges.: $|\overrightarrow{A_n{C}_n}|$ und $x$-Werte der gleichschenkligen Dreiecke $A_3{B}_3{C}_3$ und $A_4{B}_4{C}_4$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Länge von $\overrightarrow{A_n{C}_n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right)$:

$\Rightarrow |\overrightarrow{A_n{C}_n}|=\sqrt{(-4{)}^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5LE$

2. Berechnung der $x-$Werte der gleichschenkligen Dreiecke $A_3{B}_3{C}_3$ und $A_4{B}_4{C}_4$:

In den gleichschenkligen Dreiecken mit der Basis $\overline{B_3{C}_3}$ bzw. $\overline{B_4{C}_4}$ sind die Beträge der Schenkel gleich, also gilt: $|\overrightarrow{A_n{C}_n}|=|\overrightarrow{A_n{B}_n}|(x)$

$\Rightarrow [\mathrm{0,25}\cdot x^2-\mathrm{1,25}\cdot x+3]LE=5LE$

Äquivalenzumformung und Erstellung der quadratischen Gleichung:

$[\mathrm{0,25}\cdot x^2-\mathrm{1,25}\cdot x+3]-5=0$

$\mathrm{0,25}\cdot x^2-\mathrm{1,25}\cdot x-2=0$

$a$-$b$-$c$-Formel anwenden: $${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$

Diskriminante $D$ berechnen mit $a=\mathrm{0,25}$; $b=-\mathrm{1,25}$; $c=-2$;

$D=b^2-4\cdot a\cdot c=(-\mathrm{1,25}{)}^2-4\cdot \mathrm{0,25}\cdot (-2)=\mathrm{1,5625}+2=\mathrm{3,5625}$

$\Rightarrow D>0$. Also gibt es 2 Lösungen.

$D$ in $a$-$b$-$c$-Formel einsetzen:

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-\mathrm{1,25})\pm \sqrt{\mathrm{3,5625}}}{2\cdot \mathrm{0,25}}=\frac{\mathrm{1,25}\pm \sqrt{\mathrm{3,5625}}}{\mathrm{0,5}}}$$

$${\displaystyle \Rightarrow x_1=\frac{\mathrm{1,25}+\mathrm{1,887}}{\mathrm{0,5}}=\mathrm{6,274}}$$

$${\displaystyle \Rightarrow x_2=\frac{\mathrm{1,25}-\mathrm{1,887}}{\mathrm{0,5}}=-\mathrm{1,274}}$$

Die $x$-Koordinaten sind somit ${𝐱}_{\mathrm{𝟏}}=\mathrm{𝟔,𝟐𝟕};{𝐱}_{\mathrm{𝟐}}=-\mathrm{𝟏,𝟐𝟕}$

geg.: $|\overline{AB}|=11cm;|\overline{AD}|=8cm;\sphericalangle CBA=65°;\sphericalangle ADC=105°;\sphericalangle BAD=90°$

ges.: Winkel $DCB$ und Länge der Strecke $|\overline{BD}|$

Ansatz und Rechnung:

Grundwissen: Pythagoras, allgemeine Vierecke, Sinussatz, Kosinussatz, Kreisbogen, Prozentrechnung.

1. Zeichnen des Vierecks ABCD und der Strecke $|\overline{BD}|$

2. Berechnung von $|\overline{BD}|$ mithilfe Pythagoras:

$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2$

$\Rightarrow |\overline{BD}|=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{{11}^2+8^2}=\sqrt{121+64}=\sqrt{185}cm$

$\Rightarrow |\overline{𝐁𝐃}|=\mathrm{𝟏𝟑,𝟔𝟎}𝐜𝐦$

3. Berechnung von Winkel $DCB$

$\sphericalangle DCB=360°-\sphericalangle CBA-\sphericalangle ADC-\sphericalangle BAD$

$\Rightarrow \sphericalangle DCB=360°-65°-105°-90°$

$\Rightarrow \sphericalangle 𝐃𝐂𝐁=\mathrm{𝟏𝟎𝟎}°$

geg.: $|\overline{AB}|=11cm;|\overline{AD}|=8cm;\sphericalangle CBA=65°;\sphericalangle ADC=105°;$

$\sphericalangle BAD=90°;\sphericalangle DCB=100°;\overline{BD}|=\mathrm{13,60}cm$

ges.: Längen der Strecken $\overline{DC}$ und $\overline{BC}$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Strecke $\overline{DC}$ mit Sinussatz und Tangens:

Im Dreieck $BCD$ sind bisher nur die Strecke $\overline{BD}$ und der Winkel $\sphericalangle BCD$ bekannt.

Daher muss zunächst eine dritte Größe berechnet werden:

berechne den Winkel $\sphericalangle DBA$ im rechtwinkligen Dreieck $ABD$ und mit dem bekannten Winkel $\sphericalangle ADC$ den Winkel $\sphericalangle BDC$.

$\sphericalangle DBA$ wird berechnet mit $\tan \sphericalangle DBA=\frac{8}{11}\Rightarrow \sphericalangle DBA=\mathrm{36,06}°$

Somit ist $\sphericalangle CBD=\sphericalangle CBA-\sphericalangle DBA=65°-\mathrm{36,03}°\Rightarrow \sphericalangle CBD=\mathrm{28,97}°$

Sinussatz $${\displaystyle \frac{\text{red}a}{\sin \text{red}\alpha }=\frac{\text{blue}b}{\sin \text{blue}\beta }=\frac{\text{green}c}{\sin \text{green}\gamma }}$$ angewandt auf Dreieck $BCD$ ergibt:

$${\displaystyle \frac{|\overline{DC}|}{\sin \sphericalangle CBD}=\frac{|\overline{BD}|}{sin\sphericalangle DCB}}$$ $${\displaystyle \Rightarrow \frac{|\overline{DC}|}{\sin {\mathrm{28,97}}^{\circ }}=\frac{\mathrm{13,60}\text{ cm}}{\sin {100}^{\circ }}}$$

Aufgelöst nach $\overline{DC}$ ergibt das:

$${\displaystyle |\overline{𝐃𝐂}|=\frac{\mathrm{13,60}cm\cdot \sin ({\mathrm{28,97}}^{\circ })}{\sin ({100}^{\circ })}=\frac{\mathrm{13,60}\cdot \mathrm{0,48435}}{\mathrm{0,98481}}=\mathrm{6,6887}\approx \mathrm{𝟔,𝟔𝟗}\text{ cm}}$$

2. Berechnung der Strecke $\overline{BC}$ mit Kosinussatz:

Zuerst wird der Winkel $\sphericalangle BDC$ mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck bestimmt:

$\sphericalangle BDC={180}^{\circ }-{100}^{\circ }-{\mathrm{28,97}}^{\circ }={\mathrm{51,03}}^{\circ }$

Der Kosinussatz $\text{red}{a}^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \sphericalangle BDC$ angewandt auf die Strecke $\overline{BC}$ ergibt:

$|{\overline{BC}}^2|=|{\overline{BD}}^2|+|{\overline{DC}}^2|-2\cdot \overline{BD}\cdot \overline{DC}\cdot \cos \sphericalangle BDC$

$\Rightarrow |\overline{BC}|=\sqrt{|{\overline{BD}}^2|+|{\overline{DC}}^2|-2\cdot \overline{BD}\cdot \overline{DC}\cdot \cos \sphericalangle BDC}$

$\Rightarrow |\overline{BC}|=\sqrt{{\mathrm{13,6}}^2+{\mathrm{6,69}}^2-2\cdot \mathrm{13,60}\cdot \mathrm{6,69}\cdot \cos (\mathrm{51,03}°)}$

$\Rightarrow |\overline{BC}|=\sqrt{\mathrm{184,96}+\mathrm{44,76}-\mathrm{181,97}\cdot \mathrm{0,62891}}$

$\Rightarrow |\overline{𝐁𝐂}|=\sqrt{\mathrm{184,96}+\mathrm{44,76}-\mathrm{114,44}}=\sqrt{\mathrm{115,28}}=\mathrm{10,7368}\approx \mathrm{𝟏𝟎,𝟕𝟒}𝐜𝐦$

Hinweis: Diese Berechnung kannst du auch mit den bekannten Größen $|\overline{BD}|$, $\sphericalangle DCB$ und dem Winkel $\sphericalangle BDC$, den du wie in der Rechnung oben bestimmst und dem Sinussatz durchführen.

geg.: Wertangaben und Rechenergebnisse aus Aufgabe $B3.a$ und $B3.b$

ges.: Gesamtfläche $A_{ABCD}$ bestehend aus $△ABD$ und $△BCD$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Fläche des rechtwinkligen $△ABD$:

$A_{△ABD}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$ mit $g=|\overline{AB}|=11cm$ und $h=|\overline{AD}|=8cm$

${𝐀}_{△𝐀𝐁𝐃}=\frac{1}{2}\cdot 11cm\cdot 8cm=\mathrm{𝟒𝟒}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟐}}$

2. Berechnung der Fläche des allgemeinen $△BCD$ mithilfe des Sinussatzes:

Der Sinussatz mit zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkelmaß lautet:

$\text{blue}𝐀=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\cdot 𝐚\cdot 𝐛\cdot 𝐬𝐢𝐧𝛄$

mit $a=|\overline{BD}|=\mathrm{13,60}cm;b=|\overline{BC}|=\mathrm{10,74}cm;\sin \measuredangle CBD=\mathrm{28,97}°$

$\Rightarrow {𝐀}_{△𝐁𝐂𝐃}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{13,6}\cdot \mathrm{10,74}\cdot \sin (\mathrm{28,97}°)=\mathrm{73,032}\cdot \mathrm{0,48435}=\mathrm{𝟑𝟓,𝟑𝟕}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟐}}$

3. Berechnung der Gesamtfläche des Vierecks $ABCD$:

${𝐀}_{\square 𝐀𝐁𝐂𝐃}=A_{△ABD}+A_{△BCD}=44+\mathrm{35,37}=\mathrm{𝟕𝟗,𝟑𝟕}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟑}}$

1. Einzeichnen des Kreisbogens $\stackrel{⌢}{P}$ mit Radius $r=4cm$ um Mittelpunkt $C$.

2. Kreisbogen schneidet die Strecke $\overline{DC}$ in Punkt $P$ und die Strecke $\overline{BC}$ in $Q$

geg.: Kreismittelpunkt ist Eckpunkt $C$ des Vierecks $ABCD$; Kreisradius ist $r=4cm\stackrel{\wedge}{=}\overline{CP}\stackrel{\wedge}{=}\overline{CQ}$; Öffnungswinkel des Kreisbogensektors ist $\sphericalangle PCQ=100°$

ges.: Kreisbogenlänge $|\stackrel{⌢}{P}|$ und Strecke $|\overline{PQ}|$ (=Kreissehne)

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Kreisbogenlänge mithilfe der Kreisbogenformel:

$𝐛={\displaystyle \frac{𝛂}{{\mathrm{𝟑𝟔𝟎}}^{\circ }}}\cdot \mathrm{𝟐}\cdot 𝛑\cdot 𝐫$ mit $\alpha ={100}^{\circ }$; $\pi =\mathrm{3,14}$; $r=4cm$

$\Rightarrow \stackrel{⌢}{𝐏}={\displaystyle \frac{100°}{360°}}\cdot 2\cdot \mathrm{3,14}\cdot 4cm=\mathrm{𝟔,𝟗𝟖}\text{ cm}$

2. Berechnung der Strecke $|\overline{PQ}|$ mithilfe des Kosinussatzes:

${𝐚}^{\mathrm{𝟐}}={𝐛}^{\mathrm{𝟐}}+{𝐜}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟐}\cdot 𝐛\cdot 𝐜\cdot \cos 𝛂$

mit $a=|\overline{PQ}|$; $b=r=|\overline{CP}|=4cm$; $c=r=|\overline{CQ}|=4cm$; $\alpha =100$

$\Rightarrow |\overline{𝐏𝐐}{|}^{\mathrm{𝟐}}=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cdot \cos \text{⁡}(100°)$

$\Rightarrow |\overline{𝐏𝐐}{|}^{\mathrm{𝟐}}=16+16-32\cdot (-\mathrm{0,173648})=32+\mathrm{5,5567}=\mathrm{37,5567}$

$\Rightarrow |\overline{𝐏𝐐}|=\sqrt{\mathrm{37,5567}}=\mathrm{6,1283}\approx \mathrm{𝟔,𝟏𝟑}𝐜𝐦$

3. Berechnung des Umfangs der Figur (bestehend aus Kreisbogen $\stackrel{⌢}{P}$ und Sehne $|\overline{PQ}|$:

${𝐔}_{𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫}=|\stackrel{⌢}{P}|+|\overline{PQ}|=\mathrm{6,98}cm+\mathrm{6,13}cm=\mathrm{𝟏𝟑,𝟏𝟏}𝐜𝐦$

Grundwissen: Kreissektorformel, Sinussatz für Dreiecksfläche, Prozentrechnung

geg.: Öffnungswinkel des Kreissektors ist $\sphericalangle PCQ=100°$; $r=4cm$;

Kreisbogenlänge $|\stackrel{⌢}{P}|=\mathrm{6,98}cm$ und Strecke $|\overline{PQ}|=\mathrm{6,13}cm$ (Kreissehne)

ges.: $A_{\text{Figur}}$ und %-Anteil von $A_{\text{Figur}}$ an $A_{ABCD}$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung der Fläche des Kreissektors $\sphericalangle 𝐏𝐂𝐐$ mithilfe der Kreissektorformel:

Kreissektor $\sphericalangle PCQ≔$ Teilfläche eines Kreises, die vom Kreisbogen $|\stackrel{⌢}{P}|$ und den zwei Kreisradien $r$ begrenzt wird:

${𝐀}_{𝐊𝐫𝐞𝐢𝐬𝐬𝐞𝐤𝐭𝐨𝐫\sphericalangle 𝛂}=\frac{𝛂}{\mathrm{𝟑𝟔𝟎}°}\cdot 𝛑\cdot {𝐫}^{\mathrm{𝟐}}$ mit $r=4cm$ und $\alpha =100°$

${𝐀}_{𝐊𝐫𝐞𝐢𝐬𝐬𝐞𝐤𝐭𝐨𝐫\sphericalangle 𝛂}=\frac{100°}{360°}\cdot \mathrm{3,14}\cdot 4^2=\mathrm{𝟏𝟑,𝟗𝟓}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟐}}$

2. Berechnung der Dreiecksfläche von $△PCQ$ mithilfe Sinussatz:

Der Sinussatz mit zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkelmaß $\alpha$ lautet:

$A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$mit $a=b=r=4cm$; $\alpha$=100°

$\Rightarrow A_{△PCQ}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \sin (100°)$

$\Rightarrow {𝐀}_{△𝐏𝐂𝐐}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \mathrm{0,98481}=\mathrm{𝟕,𝟖𝟕}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟐}}$

3. Berechnung der Figur (=Kreissegment) durch Subtraktion der Flächen:

Kreissektor $\sphericalangle PCQ$ minus Dreiecksfläche von $△PCQ$:

${𝐀}_{𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫}={𝐀}_{𝐊𝐫𝐞𝐢𝐬𝐬𝐞𝐤𝐭𝐨𝐫\sphericalangle 𝛂}-{𝐀}_{△𝐏𝐂𝐐}=\mathrm{13,95}-\mathrm{7,87}=\mathrm{6,08}c{m}^2$

4. Berechnung des Prozentanteils der Figur (=Kreissegment $PQ$) an $A_{ABCD}=\mathrm{79,37}cm2$ (gem. Aufgabe B 3.c)

$${\displaystyle \frac{A_{Figur}}{A_{ABCD}}=\frac{\mathrm{6,08}c{m}^2}{\mathrm{79,37}c{m}^2}=\mathrm{0,0766}}$$

$\Rightarrow$ Der $\%-$Anteil der Figur am Flächeninhalt des Vierecks $ABCD$ beträgt $\mathrm{𝟕,66}\%$

Grundwissen: Drachenviereck, Pyramide, Schrägbildzeichnung

geg.: $|\overline{AC}|=14cm;|\overline{CM}|=5cm;|\overline{BD}|=12cm;|\overline{MS}|=10cm;q=\mathrm{0,5}$und $\omega =45°$

ges.: Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ mit $AC$ auf Schrägbildachse

Ansatz und Rechnung:

1. Zeichnung des Schrägbildes der Pyramide $ABCDS$ mit Schrägbildachse $\overline{AC}$;

$A$ liegt links von $C$, $q=\frac{1}{2}$ und $\omega =45°$

$\Rightarrow |\overline{BD}{|}_{\text{in Zeichung}}=q\cdot 12cm=\frac{1}{2}\cdot 12cm=6cm$

2. Berechnung der Länge der Strecke $|\overline{CS}|$ mit Pythagoras:

$|\overline{CM}{|}^2+|\overline{MS}{|}^2=|\overline{CS}{|}^2$

$\Rightarrow |\overline{CS}|=\sqrt{|\overline{CM}{|}^2+|\overline{MS}{|}^2}$

$\Rightarrow |\overline{𝐂𝐒}|=\sqrt{5^2+{10}^2}=\sqrt{25+100}=\sqrt{125}=\mathrm{11,18}$

Die Länge der Strecke $\overline{CS}$ beträgt $\mathrm{𝟏𝟏,𝟏𝟖}𝐜𝐦$.

3. Berechnung $\measuredangle SCA$ mithilfe Tangens:

$${\displaystyle \tan \sphericalangle SCA=\frac{GK}{AK}=\frac{MS}{CM}=\frac{10cm}{5cm}=2}$$

$\sphericalangle 𝐒𝐂𝐀={\tan }^{-\mathrm{𝟏}}(\mathrm{𝟐})={\mathrm{𝟔𝟑,𝟒𝟑}}^{\circ }$

geg.: Wertangaben aus Aufgabe B4.a:

$\text{blue}|\overline{AC}|=14cm;|\overline{CM}|=5cm;|\overline{BD}|=12cm;|\overline{MS}|=10cm;q=\mathrm{0,5};\omega =45°;\measuredangle SCA=\mathrm{63,43}°;|\overline{CS}|=\mathrm{11,18}cm$

zusätzliche Angaben für diese Aufgabe:

Punkte $P_n\in \overline{CS};T_n\in \overline{AM};$ weiter gilt $|\overline{S{P}_n}|(x)=\mathrm{0,5}\cdot xcm;|\overline{M{T}_n}(x)=xcm$

mit $x\in R$ und $0<x\le 9$; $P_n$ sind Spitzen der Pyramide $T_{n}BCD{P}_n$ mit den Grundflächen $T_{n}BCD$ und den Höhen $\overline{F_n{P}_n}$

ges.: Schrägbild der Pyramide $T_{1}BCD{P}_1$ mit $AC$ auf Schrägbildachse und

$h=\overline{F_1{P}_1}$ für $x=7$; Länge der Strecke $\overline{P_1{T}_1}$

Ansatz und Rechnung:

1. Einzeichnen der Pyramide $T_{1}BCD{P}_1$ und der Höhe $\overline{F_1{P}_1}$ für $x=7$:

• Berechnung $|\overline{S{P}_1}|(x=7)=\mathrm{0,5}\cdot 7cm=\mathrm{3,5}cm$; $P_1$ einzeichnen

• Berechnung $|\overline{M{T}_1}|(x=7)=7cm$; $T_1$ einzeichnen

• Eckpunkte der Pyramide $T_{1}BCD{P}_1$ verbinden

2. Berechnung der Länge der Strecke $\overline{P_1{T}_1}$ mithilfe des Kosinussatzes:

Kosinussatz: $\text{blue}{𝐚}^{\mathrm{𝟐}}={𝐛}^{\mathrm{𝟐}}+{𝐜}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟐}\cdot 𝐛\cdot 𝐜\cdot 𝐜𝐨𝐬𝛂$

mit $a=|\overline{P_1{T}_1}|;b=|\overline{C{P}_1}|;c=|\overline{C{T}_1}|;\alpha =\mathrm{63,43}°$

$\Rightarrow |\overline{{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}{𝐓}_{\mathrm{𝟏}}}{|}^{\mathrm{𝟐}}=|\overline{𝐂{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}}{|}^{\mathrm{𝟐}}+|\overline{𝐂{𝐓}_{\mathrm{𝟏}}}{|}^{\mathrm{𝟐}}-\mathrm{𝟐}\cdot |\overline{𝐂{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}}\cdot |\overline{𝐂{𝐓}_{\mathrm{𝟏}}}|\cdot 𝐜𝐨𝐬\sphericalangle 𝐒𝐂𝐀$

Werte von⋅$|\overline{C{P}_1}|$ und $|\overline{C{T}_1}|$ berechnen:

• $|\overline{C{P}_1}|=|\overline{CS}|-|\overline{S{P}_1}|=\mathrm{11,18}cm-\mathrm{3,5}cm=\mathrm{7,68}cm$

• $|\overline{C{T}_1}|=|\overline{CM}|+|\overline{M{T}_1}|=5cm+7cm=12cm$

Werte in Formel einsetzen und Strecke berechnen:

$\Rightarrow |\overline{P_1{T}_1}{|}^2={\mathrm{7,68}}^2+{12}^2-2\cdot \mathrm{7,68}\cdot 12\cdot cos(\mathrm{63,43}°)$

$=58.98+144-\mathrm{184,32}\cdot \mathrm{0,4473}$

$=\mathrm{202,98}-\mathrm{82,45}$

$=\mathrm{120,53}$

$\Rightarrow |\overline{{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}{𝐓}_{\mathrm{𝟏}}}|=\sqrt{\mathrm{120,53}}=\mathrm{10,9786}$

Die Länge von $\overline{{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}{𝐓}_{\mathrm{𝟏}}}$ beträgt $\mathrm{𝟏𝟎,𝟗𝟖}𝐜𝐦$

geg.: Wertangaben siehe Aufgabe B4.a und b

ges.: %-Anteil des Volumens von $T_{1}BCD{P}_1$ an $ABCDS$

Ansatz und Rechnung:

1. Berechnung des Volumens der Pyramide $ABCDS$ mit der Grundfläche eines Drachenvierecks:

Das Volumen einer Pyramide ist $𝐕=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot 𝐆\cdot 𝐡$

Die Grundfläche der Pyramide ist ein Drachenviereck, also gilt ${𝐆}_{𝐀𝐁𝐂𝐃}=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\cdot 𝐞\cdot 𝐟$

hierbei sind $e\stackrel{\wedge}{=}|\overline{AC}|=14cm;f\stackrel{\wedge}{=}|\overline{BD}|=12cm;h\stackrel{\wedge}{=}|\overline{MS}|=10cm;$

$\Rightarrow {𝐕}_{𝐀𝐁𝐂𝐃𝐒}=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot {𝐆}_{𝐀𝐁𝐂𝐃}\cdot 𝐡=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot \frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\cdot 𝐞\cdot 𝐟\cdot 𝐡$

$=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 14\cdot 12\cdot 10c{m}^3$

$\Rightarrow {𝐕}_{𝐀𝐁𝐂𝐃𝐒}=\mathrm{𝟐𝟖𝟎}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟑}}$

2. Berechnung des Volumens der Pyramide $T_{1}BCD{P}_1$:

$\Rightarrow {𝐕}_{{𝐓}_{\mathrm{𝟏}}𝐁𝐂𝐃{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}}=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot \frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\cdot 𝐞\cdot 𝐟\cdot 𝐡$

hierbei sind $e\stackrel{\wedge}{=}|\overline{C{T}_1}|=12cm;f\stackrel{\wedge}{=}|\overline{BD}|=12cm;$

$h=|\overline{F_1{P}_1}|$ errechnet man aus $|\overline{C{P}_1}|=\mathrm{7,68}cm$ und dem Sinus aus $\measuredangle SCA=\mathrm{63,43}°$

$${\displaystyle \sin \measuredangle SCA=\frac{|\overline{F_1{P}_1}|}{|\overline{C{P}_1}|}}$$; nach Umformung $\Rightarrow |\overline{F_1{P}_1}|=sin\measuredangle SCA\cdot |\overline{C{P}_1}|$

$\Rightarrow |\overline{F_1{P}_1}|=\sin (\mathrm{63,43}°)\cdot \mathrm{7,86}=\mathrm{0,8943}\cdot \mathrm{7,68}=\mathrm{6,8689}\approx \mathrm{6,87}cm$

$\Rightarrow {𝐕}_{{𝐓}_{\mathrm{𝟏}}𝐁𝐂𝐃{𝐏}_{\mathrm{𝟏}}}=\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟑}}\cdot \frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐}}\cdot \mathrm{𝟏𝟐}\cdot \mathrm{𝟏𝟐}\cdot \mathrm{𝟔,𝟕𝟖}=\mathrm{𝟏𝟔𝟒,𝟖𝟖}𝐜{𝐦}^{\mathrm{𝟑}}$

3. Berechnung des %-Anteils des Volumens von $T_{1}BCD{P}_1$ an $ABCDS$:

$${\displaystyle \frac{V_{ABCDS}}{V_{ABCDS}}-\frac{V_{T_{1}BCD{P}_1}}{V_{ABCDS}}=\frac{280}{280}-\frac{\mathrm{164,88}}{280}=1-\mathrm{0,5888}=\mathrm{𝟒𝟏,𝟏𝟏}\%}$$

geg.: Für die Pyramide $T_{2}BCD{P}_2$ gilt $|\overline{C{P}_2}|=|\overline{C{T}_2}|$

ges.: zugehöriger $x-$Wert für $|\overline{C{P}_2}|$ und $|\overline{C{T}_2}|$

Ansatz und Rechnung:

1. Aufstellung der Gleichungen für die Strecken $|\overline{C{P}_2}|$ und $|\overline{C{T}_2}|$:

Analog zu $|\overline{S{P}_n}|(x)=\mathrm{0,5}\cdot xcm$ und $|\overline{M{T}_n}|(x)=xcm$ gilt dann

$|\overline{S{P}_2}|(x)=\mathrm{0,5}\cdot xcm$ und $|\overline{M{T}_2}|(x)=xcm$

$\Rightarrow |\overline{C{P}_2}|=|\overline{CS}|-|\overline{S{P}_2}|=\mathrm{11,18}cm-\mathrm{0,5}\cdot x$

$\Rightarrow |\overline{C{T}_2}|=|\overline{CM}|+|\overline{M{T}_2}|(x)=5cm+x$

2. Vergleich der Strecken und Berechnung der Unbekannten $x$:

$\mathrm{11,18}cm-\mathrm{0,5}\cdot x=5cm+xmitx\in R;0<x\le 9$

Umformen und nach x auflösen:

$\Rightarrow \mathrm{11,18}cm-5cm=\mathrm{0,5}\cdot x+x$

$\Rightarrow \mathrm{6,18}cm=\mathrm{1,5}\cdot x$

$\Rightarrow x=\frac{\mathrm{6,18}cm}{\mathrm{1,5}}=\mathrm{4,12}cm$

Der zugehörige $𝐱-$Wert ist $\mathrm{𝟒,𝟏𝟐}𝐜𝐦$

geg.: In der Pyramide $T_{3}BCD{P}_3$ gilt $\measuredangle B{T}_{3}D=90°$

ges.: zugehöriger $x-$Wert für $|\overline{M{T}_3}|$

Ansatz und Rechnung:

Alle Dreiecke $B{T}_{3}D$ werden von einem Halbkreis umschrieben und sind somit rechtwinklig: $\Rightarrow$ Der Punkt $T_3$ liegt auf dem Thaleskreis über $\overline{BD}$.

Daher gilt:

$|\overline{M{T}_3}|=|\overline{BM}|=|\overline{DM}|=r_{\text{Thaleskreis}}=\frac{1}{2}\cdot |\overline{BD}|=\frac{1}{2}\cdot 12cm=6cm$

$\Rightarrow$ Der x-Wert ist also 6