Nachtermin Teil B

Aufgabe B4

Das Drachenviereck $A B C D$ mit der Symmetrieachse $A C$ und dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist die

Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe $M S$ .

Es gilt: $| A C | = 14 cm$ ; $| C M | = 5 cm$ ;

$| B D | = 12 cm$ ; $| M S | = 10 cm$ .

Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei $A C$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}$ ; $ω = 45^{\circ} .$

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $C S$ und das Maß des Winkels $S C A$ . (4 P)
$[$ Teilergebnisse: $| C S | = 11,18 cm; ∢ S C A = {63,43}^{\circ}]$

Grundwissen: Drachenviereck, Pyramide, Schrägbildzeichnung
geg.: $| A C | = 14 c m; | C M | = 5 c m; | B D | = 12 c m; | M S | = 10 c m; q = 0,5$ und $ω = 45 °$
ges.: Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ mit $A C$ auf Schrägbildachse
Ansatz und Rechnung:
1. Zeichnung des Schrägbildes der Pyramide $A B C D S$ mit Schrägbildachse $A C$ ;
$A$ liegt links von $C$ , $q = \frac{1}{2}$ und $ω = 45 °$
$\Rightarrow | B D |_{in Zeichung} = q \cdot 12 c m = \frac{1}{2} \cdot 12 c m = 6 c m$
2. Berechnung der Länge der Strecke $| C S |$ mit Pythagoras:
$| C M |^{2} + | M S |^{2} = | C S |^{2}$
$\Rightarrow | C S | = \sqrt{| C M |^{2} + | M S |^{2}}$
$\Rightarrow | 𝐂 𝐒 | = \sqrt{5^{2} + 10^{2}} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 11,18$
Die Länge der Strecke $C S$ beträgt $𝟏𝟏,𝟏𝟖 𝐜 𝐦$ .
3. Berechnung $∡ S C A$ mithilfe Tangens:
$\tan ∢ S C A = \frac{G K}{A K} = \frac{M S}{C M} = \frac{10 c m}{5 c m} = 2$
$∢ 𝐒 𝐂 𝐀 = \tan^{- 𝟏} (𝟐) = {𝟔𝟑,𝟒𝟑}^{\circ}$
Zeichnung des Schrägbildes der Pyramide $A B C D S$ .
Markiere alle bekannten Größen in blau und die gesuchten in rot.
Für Punkte $P_{n} \in C S$ und $T_{n} \in A M$ gilt: $| S P_{n} | (x) = 0,5 \cdot x cm$ und $| M T_{n} | (x) = x cm$ mit $x \in ℝ$ und $0 < x \leq 9$ . Die Punkte $P_{n}$ sind die Spitzen von Pyramiden $T_{n} B C D P_{n}$ mit den Grundflächen $T_{n} B C D$ und den Höhen $F_{n} P_{n}$ .
Zeichnen Sie die Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ und die Höhe $F_{1} P_{1}$ für $x = 7$ in das Schrägbild zu a) ein.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $P_{1} T_{1}$ . (4 P)
geg.: Wertangaben aus Aufgabe B4.a:
$\blue | A C | = 14 c m; | C M | = 5 c m; | B D | = 12 c m; | M S | = 10 c m; q = 0,5; ω = 45 °; ∡ S C A = 63,43 °; | C S | = 11,18 c m$
zusätzliche Angaben für diese Aufgabe:
Punkte $P_{n} \in C S; T_{n} \in A M;$ weiter gilt $| S P_{n} | (x) = 0,5 \cdot x c m; | M T_{n} (x) = x c m$
mit $x \in R$ und $0 < x \leq 9$ ; $P_{n}$ sind Spitzen der Pyramide $T_{n} B C D P_{n}$ mit den Grundflächen $T_{n} B C D$ und den Höhen $F_{n} P_{n}$
ges.: Schrägbild der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ mit $A C$ auf Schrägbildachse und
$h = F_{1} P_{1}$ für $x = 7$ ; Länge der Strecke $P_{1} T_{1}$
Ansatz und Rechnung:
1. Einzeichnen der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ und der Höhe $F_{1} P_{1}$ für $x = 7$ :
Berechnung $| S P_{1} | (x = 7) = 0,5 \cdot 7 c m = 3,5 c m$ ; $P_{1}$ einzeichnen
Berechnung $| M T_{1} | (x = 7) = 7 c m$ ; $T_{1}$ einzeichnen
Eckpunkte der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ verbinden
Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ und Höhe $F_{1} P_{1}$ für $x = 7$
2. Berechnung der Länge der Strecke $P_{1} T_{1}$ mithilfe des Kosinussatzes:
Kosinussatz: $\blue 𝐚^{𝟐} = 𝐛^{𝟐} + 𝐜^{𝟐} - 𝟐 \cdot 𝐛 \cdot 𝐜 \cdot 𝐜 𝐨 𝐬 𝛂$
mit $a = | P_{1} T_{1} |; b = | C P_{1} |; c = | C T_{1} |; α = 63,43 °$
$\Rightarrow | 𝐏_{𝟏} 𝐓_{𝟏} |^{𝟐} = | 𝐂 𝐏_{𝟏} |^{𝟐} + | 𝐂 𝐓_{𝟏} |^{𝟐} - 𝟐 \cdot | 𝐂 𝐏_{𝟏} \cdot | 𝐂 𝐓_{𝟏} | \cdot 𝐜 𝐨 𝐬 ∢ 𝐒 𝐂 𝐀$
Werte von⋅ $| C P_{1} |$ und $| C T_{1} |$ berechnen:
$| C P_{1} | = | C S | - | S P_{1} | = 11,18 c m - 3,5 c m = 7,68 c m$
$| C T_{1} | = | C M | + | M T_{1} | = 5 c m + 7 c m = 12 c m$
Werte in Formel einsetzen und Strecke berechnen:
$\Rightarrow | P_{1} T_{1} |^{2} = {7,68}^{2} + 12^{2} - 2 \cdot 7,68 \cdot 12 \cdot c o s (63,43 °)$
$= 58.98 + 144 - 184,32 \cdot 0,4473$
$= 202,98 - 82,45$
$= 120,53$
$\Rightarrow | 𝐏_{𝟏} 𝐓_{𝟏} | = \sqrt{120,53} = 10,9786$
Die Länge von $𝐏_{𝟏} 𝐓_{𝟏}$ beträgt $𝟏𝟎,𝟗𝟖 𝐜 𝐦$
Einzeichnen der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ und der Höhe $F_{1} P_{1}$ für $x = 7$ in rot in das Schrägbild, Berechnung der Streckenlänge von $P_{1} T_{1}$
Bestimmen Sie durch Rechnung, um wie viel Prozent das Volumen der
Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $A B C D S$ . (4 P)
$[$ Zwischenergebnis: $| F_{1} P_{1} | = 6,87 cm]$

geg.: Wertangaben siehe Aufgabe B4.a und b
ges.: %-Anteil des Volumens von $T_{1} B C D P_{1}$ an $A B C D S$
Ansatz und Rechnung:
1. Berechnung des Volumens der Pyramide $A B C D S$ mit der Grundfläche eines Drachenvierecks:
Das Volumen einer Pyramide ist $𝐕 = \frac{𝟏}{𝟑} \cdot 𝐆 \cdot 𝐡$
Die Grundfläche der Pyramide ist ein Drachenviereck, also gilt $𝐆_{𝐀 𝐁 𝐂 𝐃} = \frac{𝟏}{𝟐} \cdot 𝐞 \cdot 𝐟$
hierbei sind $e ≙ | A C | = 14 c m; f ≙ | B D | = 12 c m; h ≙ | M S | = 10 c m;$
$\Rightarrow 𝐕_{𝐀 𝐁 𝐂 𝐃 𝐒} = \frac{𝟏}{𝟑} \cdot 𝐆_{𝐀 𝐁 𝐂 𝐃} \cdot 𝐡 = \frac{𝟏}{𝟑} \cdot \frac{𝟏}{𝟐} \cdot 𝐞 \cdot 𝐟 \cdot 𝐡$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 \cdot 10 c m^{3}$
$\Rightarrow 𝐕_{𝐀 𝐁 𝐂 𝐃 𝐒} = 𝟐𝟖𝟎 𝐜 𝐦^{𝟑}$
2. Berechnung des Volumens der Pyramide $T_{1} B C D P_{1}$ :
$\Rightarrow 𝐕_{𝐓_{𝟏} 𝐁 𝐂 𝐃 𝐏_{𝟏}} = \frac{𝟏}{𝟑} \cdot \frac{𝟏}{𝟐} \cdot 𝐞 \cdot 𝐟 \cdot 𝐡$
hierbei sind $e ≙ | C T_{1} | = 12 c m; f ≙ | B D | = 12 c m;$
$h = | F_{1} P_{1} |$ errechnet man aus $| C P_{1} | = 7,68 c m$ und dem Sinus aus $∡ S C A = 63,43 °$
$\sin ∡ S C A = \frac{| F_{1} P_{1} |}{| C P_{1} |}$ ; nach Umformung $\Rightarrow | F_{1} P_{1} | = s i n ∡ S C A \cdot | C P_{1} |$
$\Rightarrow | F_{1} P_{1} | = \sin (63,43 °) \cdot 7,86 = 0,8943 \cdot 7,68 = 6,8689 \approx 6,87 c m$
$\Rightarrow 𝐕_{𝐓_{𝟏} 𝐁 𝐂 𝐃 𝐏_{𝟏}} = \frac{𝟏}{𝟑} \cdot \frac{𝟏}{𝟐} \cdot 𝟏𝟐 \cdot 𝟏𝟐 \cdot 𝟔,𝟕𝟖 = 𝟏𝟔𝟒,𝟖𝟖 𝐜 𝐦^{𝟑}$
3. Berechnung des %-Anteils des Volumens von $T_{1} B C D P_{1}$ an $A B C D S$ :
$\frac{V_{A B C D S}}{V_{A B C D S}} - \frac{V_{T_{1} B C D P_{1}}}{V_{A B C D S}} = \frac{280}{280} - \frac{164,88}{280} = 1 - 0,5888 = 𝟒𝟏,𝟏𝟏 %$
Berechnung der Volumina der Pyramiden $T_{1} B C D P_{1}$ und $A B C D S$ und anschließender Vergleich ihrer prozentualen Anteile
Für die Pyramide $T_{2} B C D P_{2}$ gilt: $| C P_{2} | = | C T_{2} |$ .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungen
geg.: Für die Pyramide $T_{2} B C D P_{2}$ gilt $| C P_{2} | = | C T_{2} |$
ges.: zugehöriger $x -$ Wert für $| C P_{2} |$ und $| C T_{2} |$
Ansatz und Rechnung:
1. Aufstellung der Gleichungen für die Strecken $| C P_{2} |$ und $| C T_{2} |$ :
Analog zu $| S P_{n} | (x) = 0,5 \cdot x c m$ und $| M T_{n} | (x) = x c m$ gilt dann
$| S P_{2} | (x) = 0,5 \cdot x c m$ und $| M T_{2} | (x) = x c m$
$\Rightarrow | C P_{2} | = | C S | - | S P_{2} | = 11,18 c m - 0,5 \cdot x$
$\Rightarrow | C T_{2} | = | C M | + | M T_{2} | (x) = 5 c m + x$
2. Vergleich der Strecken und Berechnung der Unbekannten $x$ :
$11,18 c m - 0,5 \cdot x = 5 c m + x m i t x \in R; 0 < x \leq 9$
Umformen und nach x auflösen:
$\Rightarrow 11,18 c m - 5 c m = 0,5 \cdot x + x$
$\Rightarrow 6,18 c m = 1,5 \cdot x$
$\Rightarrow x = \frac{6,18 c m}{1,5} = 4,12 c m$
Der zugehörige $𝐱 -$ Wert ist $𝟒,𝟏𝟐 𝐜 𝐦$
Aufstellen der Gleichungen für zwei Strecken und Berechnung der Unbekannten x
In der Pyramide $T_{3} B C D P_{3}$ hat der Winkel $B T_{3} D$ das Maß $90^{\circ}$ .
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für $x$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Thaleskreis
geg.: In der Pyramide $T_{3} B C D P_{3}$ gilt $∡ B T_{3} D = 90 °$
ges.: zugehöriger $x -$ Wert für $| M T_{3} |$
Ansatz und Rechnung:
Alle Dreiecke $B T_{3} D$ werden von einem Halbkreis umschrieben und sind somit rechtwinklig: $\Rightarrow$ Der Punkt $T_{3}$ liegt auf dem Thaleskreis über $B D$ .
Daher gilt:
$| M T_{3} | = | B M | = | D M | = r_{Thaleskreis} = \frac{1}{2} \cdot | B D | = \frac{1}{2} \cdot 12 c m = 6 c m$
$\Rightarrow$ Der x-Wert ist also 6
Geometrische Analyse

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org