Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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Aufgabe B1

Der Punkt $A (3 | 3)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von gleichschenkligen Dreiecken $A B_{n} C_{n}$ mit den Basen $B_{n} C_{n}$ . Die Eckpunkte $B_{n} (x | - x + 3)$ der Dreiecke $A B_{n} C_{n}$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = - x + 3$ $(x, y \in ℝ)$ .

Es gilt: $∢ B_{n} A C_{n} = 45^{\circ}$ .

In das Koordinatensystem sind die Gerade $g$ und das Dreieck $A B_{1} C_{1}$ für $x = 3$ bereits eingezeichnet.
Ergänzen Sie das Dreieck $A B_{2} C_{2}$ für $x = - 1$ . (1 P)
Bestimmung von $B_{2}$ mithilfe von $B_{n}$
Hierfür setzen wir $x = - 1$ in die allgemeine Form von $B_{n}$ ein und erhalten so $B_{2}$
$B_{2} (- 1 | - (- 1) + 3)$ $\Rightarrow$ $B_{2} (- 1 | 4)$
Wir zeichnen nun $B_{2}$ in unser Koordinatensystem ein.
Berechnung der fehlenden Winkel
Der Winkel $∢ B_{n} A C_{n}$ beträgt $45 °$
Wir wissen, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks $180 °$ beträgt.
Da es sich um ein Gleichschenkliges Dreieck handelt, gilt: $∢ C_{n} B_{n} A = ∢ A C_{n} B_{n}$
Wir rechnen: $∢ C_{n} B_{n} A = ∢ A C_{n} B_{n} = \frac{180 - 45}{2} = 67,5 °$
Vervollständigung der Zeichnung
Schenkel mit $∢ A B_{2} C_{2} = 67,5 °$ in $B_{2}$ an $A B_{2}$ antragen
Schenkel mit $∢ C_{2} A B_{2} = 45 °$ in $A$ an $A B_{2}$ antragen
Schenkel schneiden sich in Punkt $C_{2}$
Verbinde die Strecken $B_{2} C_{2}$ und $A C_{2}$
Gerade $g$ mit Dreiecke $A B_{1} C_{1}$ und $A B_{2} C_{2}$
Bestimme zunächst $B_{2}$ mithilfe von $B_{n}$ , indem du $x = - 1$ einsetzt.
Berechne die Innenwinkel des Dreiecks.
Bestimme $C_{2}$ zeichnerisch mithilfe der berechneten Winkelwerte.

Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ . (4 P)

Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B2
Von den Reservierungen in einem Restaurant erfolgen $35 %$ telefonisch („T“), der Rest
über die Homepage („H“). Bei $18 %$ der telefonischen Reservierungen kommt es zu
Fehlern („F“), bei Reservierungen über die Homepage liegt der Anteil der Fehler bei
$p %$ $(p \in ℝ^{+})$ . Die übrigen Reservierungen erfolgen ohne Fehler („oF“).
Zeichnen Sie ein zugehöriges Baumdiagramm, in dem die Anteile ersichtlich sind.
(2,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Wir zeichnen das Baumdiagramm Schritt für Schritt.
Erster Ast
Wir wissen, dass $35 %$ telefonisch (T) reservieren.
Der Rest, also $100 % - 35 % = 65 %$ reserviert über die Hotmail (H).
Zweiter Ast
Zunächst betrachten wir die telefonischen Reservierungen (T):
Davon sind $18 %$ fehlerhaft (F).
Der Rest, also $100 % - 18 % = 82 %$ sind ohne Fehler (oF).
Nun betrachten wir die Reservierungen über die Hotmail (H):
Davon sind $p %$ fehlerhaft (F).
Der Rest, also wieder $100 % - p %$ ist ohne Fehler (oF).
vollständiges Baumdiagramm
Trage die bekannten Wahrscheinlichkeiten in ein Baumdiagramm ein.
Berechne jeweils die Gegenwahrscheinlichkeit. Überlege dir, was das bei zwei möglichen Optionen bedeutet.
Führe für p genauso die Rechnung durch. Du erhältst zwar kein Ergebnis aber der Anteil wird dadurch ersichtlich.

Erfahrungsgemäß kommt es bei $15 %$ aller Reservierungen zu einem Fehler. Ein zufällig ausgewählter Gast, der eine Reservierung über die Homepage vorgenommen hat, wird zur Zufriedenheit mit dem Restaurant befragt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $p %$ dafür, dass es bei der Reservierung dieses Gastes zu einem Fehler kam. (2 P)
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Wir überlegen uns, woraus sich die Fehlerquote zusammensetzt:
Ein Fehler kann telefonisch (T) oder über die Homepage (H) geschehen.
Das Bedeutet, für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt: $p (F) = p (T \cap F) + p (H \cap F)$
Nun setzen wir die Wahrscheinlichkeiten aus unserem Baumdiagramm ein:
$p (F)$ $=$ $p (T \cap F) + p (H \cap F)$
↓
Pfadregeln
$p (F)$ $=$ $0,35 \cdot 0,18 + 0,65 \cdot p$
↓
$p (F)$ einsetzen
$0,15$ $=$ $0,063 + 0,65 \cdot p$ $- 0,063$
$0,087$ $=$ $0,65 \cdot p$ $: 0,65$
$p$ $\approx$ $0,1338$
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Reservieren über die Homepage ein Fehler geschieht beträgt also ungefähr $13,38 %$ .
Überlege dir, woraus sich die Fehlerwahrscheinlichkeit zusammensetzt.
Stelle so eine Formel auf und löse nach p auf.
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B3
Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = {0,75}^{x - 4} + 1$ $(x, y \in ℝ)$ und die Funktion $f_{2}$ mit der Gleichung $y = {0,75}^{x - 2} - 3$ $(x, y \in ℝ)$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Geben Sie die Wertemenge von $f_{1}$ an und zeichnen Sie die Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$ für
$x \in [- 3; 8]$ in ein Koordinatensystem. (4 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 3 \leq x \leq 8; - 4 \leq y \leq 9$

Wertebereich von $f_{1}$
Dafür betrachten wir das Grenzwertverhalten:
$f_{1}$ geht für $x \to - \infty$ gegen unendlich
$x = 1$ ist die waagrechte Asymptote, deshalb geht $f_{1}$ für $x \to \infty$ gegen $1$
Weil $f_{1}$ monoton fällt, ergibt sich damit der Wertebereich $W =] 1; \infty [$
Wertetabelle für die einzelnen Funktionen
$f_{1} P u n k t e w e r t e$ :
$f_{2} P u n k t e w e r t e$
Mithilfe der erhaltenen Werte zeichnen wir die beiden Graphen
Zeichnung $f_{1}$ und $f_{2}$
Betrachte das Grenzwertverhalten von $f_{1}$ und ermittle so die Wertemenge.
Erstelle eine Wertetabelle für die beiden Funktionen $f_{1}$ und $f_{2}$ .
Zeichne mithilfe der Wertetabelle die beiden Graphen $G_{f_{1}}$ und $G_{f_{2}}$ .

Der Graph der Funktion $f_{1}$ kann durch Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x_{v} \\ y_{v} \end{array})$
auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet werden $(x_{v}, y_{v} \in ℝ)$ .
Geben Sie die Koordinaten des Vektors $\vec{v}$ an. (1 P)

Parallelverschiebung der Funktion $f_{1}$ auf $f_{2}$ mit $\vec{v}$
$\Rightarrow$ Vektoraddition mit Ortsvektoren und Verschiebungsvektor $\vec{v}$
${\vec{O P^{'}}}_{f_{1}} = {\vec{O P}}_{f_{2}} \oplus︎ (\begin{array}{c} x_{v} \\ y_{v} \end{array})$
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ \underset{y^{'}}{\underset{⏟}{{0,75}^{(x^{'} - 2)} - 3}} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ {0,75}^{(x - 4)} + 1 \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} x_{v} \\ y_{v} \end{array})$
Daraus ergeben sich diese zwei Gleichungen:
$x^{'} = x + x_{v}$
${0,75}^{(x^{'} - 2)} - 3 = {0,75}^{(x - 4)} + 1 + y_{v}$
$x^{'}$ in die zweite Gleichung einsetzen
${0,75}^{(x + x_{v} - 2)} - 3 = {0,75}^{(x - 4)} + 1 + y_{v}$
Für die Berechnung von $x_{v}$ vergleichen wir die $Exponenten$ :
$\to x + x_{v} - 2 = x - 4 | - x$
$\to x_{v} - 2 = - 4 | + 2$
$\Rightarrow x_{v} = - 2$
Für die Berechnung von $y_{v}$ vergleichen wir die $Konstanten$ der Gleichung:
$\Rightarrow - 3 = 1 + y_{v} | - 1$
$\to y_{v} = - 4$
$\Rightarrow \vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \end{array})$
Führe eine Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x_{v} \\ y_{v} \end{array})$ durch.

Punkte $A_{n} (x | {0,75}^{x - 4} + 1)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $B_{n} (x | {0,75}^{x - 2} - 3)$ auf
dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind zusammen mit Punkten $C_{n}$
Eckpunkte von Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ .
Es gilt: $| A_{n} C_{n} | = 5 LE$ ; $∢ B_{n} A_{n} C_{n} = 60^{\circ}$ .
Zeichnen Sie das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 2$ und das Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 3,5$ in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein.
Berechnen Sie sodann die x-Koordinate des Punktes $C_{1}$ . (4 P)

$△ A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 2$ bestimmen
Zunächst bestimmen wir die Koordinaten von $A_{1}$ und $B_{1}$ , indem wir $x = - 2$ in die allgemeine Form einsetzen:
$A_{1} (- 2 | {0,75}^{- 2 - 4} + 1) \Rightarrow A_{1} (- 2 | 6,619)$
$B_{1} (- 2 | {0,75}^{- 2 - 2} - 3) \Rightarrow B_{1} (2 | 0,16)$
$∢ B_{1} A_{1} C_{1} = 60 °$ an die Strecke $A_{1} B_{1}$ antragen und $5 LE$ zu $C_{1}$ abmessen
$△ A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 3,5$ bestimmen
Zunächst bestimmen wir die Koordinaten von $A_{2}$ und $B_{2}$ , indem wir $x = 3,5$ in die allgemeine Form einsetzen:
$A_{1} (3,5 | {0,75}^{3,5 - 4} + 1) \Rightarrow A_{1} (3,5 | 2,155)$
$B_{1} (3,5 | {0,75}^{3,5 - 2} - 3) \Rightarrow B_{1} (3,5 | - 2,35)$
$∢ B_{2} A_{2} C_{2} = 60 °$ an die Strecke $A_{2} B_{2}$ antragen und $5 LE$ zu $C_{2}$ abmessen
Einzeichnen $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ und $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ mit berechneten Punktewerten und Winkel:
Berechnung der $x -$ Koordinate von Punkt $C_{1}$
$\sin (60 °)$ $=$ $\frac{G K}{H Y}$
$\sin (60 °)$ $=$ $\frac{x_{C_{1}} - x_{A_{1}}}{A_{1} C_{1}}$
$\sin (60 °)$ $=$ $\frac{x_{C_{1}} - (- 2)}{5}$ $\cdot 5$
$5 \cdot \sin (60 °)$ $=$ $x_{C_{1}} + 2$ $- 2$
$x_{C_{1}}$ $=$ $5 \cdot \sin (60 °) - 2$
$\approx$ $2,33 LE$
Setze $x = - 2$ und $x = 3,5$ in die allgemeine Form von $A_{n}$ und $B_{n}$ ein
Trage die Punkte in dein Koordinatensystem ein, füge den Winkel $∢ B_{n} A_{n} C_{n}$ . hinzu und miss $5 cm$ ab.
Verbinde nun die zusammengehörenden Punkte und du erhältst die gesuchten Dreiecke.
Teile das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ so ein, dass du einen rechten Winkel erhältst. Berechne damit die x-Koordinate von $C_{1}$ mithilfe der Sinusformel indem du bekannte Werte nutzt.

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $A_{n} B_{n}$ in Abhängigkeit von
der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt:
$| A_{n} B_{n} | (x) = (0,78 \cdot {0,75}^{x - 2} + 4) LE$ .
Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks $A_{1} B_{1} C_{1}$ . (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenformeln ebener Figuren
Berechnung der Strecke $| A_{n} B_{n} |$
Uns fällt auf, dass die Strecke $A_{n} B_{n}$ (unabhängig vom eingesetzten x-Wert) immer senkrecht im Koordinatensystem steht.
Also berechnen wir die Länger der Strecke mit der $D i f f e r e n z$ der beiden y-Werte von $A_{n}$ und $B_{n}$ :
$| A_{n} B_{n} | (x) = [{0,75}^{x - 4} + 1 - ({0,75}^{x - 2} - 3)] L E$ $x \in ℝ$
$= {0,75}^{x - 4} + 1 - {0,75}^{x - 2} + 3$
$= {0,75}^{x - 4} - {0,75}^{x - 2} + 4$
$= {0,75}^{x - 2 - 2} - {0,75}^{x - 2} + 4$ $| {0,75}^{x - 2}$ ausklammern
$= {0,75}^{x - 2} \cdot ({0,75}^{- 2} - 1) + 4 |$ Klammer ausrechnen
$\approx {0,75}^{x - 2} \cdot (1,78 - 1) + 4$
$= {0,75}^{x - 2} \cdot (0,78) + 4$
$| A_{n} B_{n} | (x) = (0,78 \cdot {0,75}^{x - 2} + 4) LE$
Fläche $A_{△ A_{1} B_{1} C_{1}}$ berechnen mit der Flächenformel:
$A_{△ A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{1}{2} \cdot | A_{1} B_{1} | \cdot | A_{1} C_{1} | \cdot \sin ∢ B_{1} A_{1} C_{1}$
Wir berechnen zunächst die einzelnen Bestandteile:
Zur Berechnung von $| A_{1} B_{1} |$ nutzen wir die gerade berechnete Formel für $| A_{n} B_{n} |$ und setzen $x = - 2$ ein
$\begin{array}{l} | A_{1} B_{1} | = (0,78 \cdot {0,75}^{(- 2 - 2)} + 4) \\ = 0,78 \cdot {0,75}^{- 4} + 4 \end{array}$
$\begin{array}{l} = 0,78 \cdot \frac{1}{{0,75}^{4}} + 4 \\ = 0,78 \cdot \frac{1}{0,316} + 4 \\ = 6,47 LE \end{array}$ ;
$| A_{1} C_{1} | = 5 LE$
und mit $\sin ∢ B_{1} A_{1} C_{1} = \sin 60 ° ≙ 0,866$
$\Rightarrow A_{△ A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 6,47 \cdot 5 \cdot 0,866 \approx 14,01 FE$
Vergleiche die Punkte $A_{1}$ und $B_{1}$ sowie $A_{2}$ und $B_{2}$ in deiner Zeichnung. Was fällt dir auf?
Berechne die Länge der Strecke über die Differenz der y-Koordinaten von $A_{n}$ und $B_{n}$ .
Nutze für die Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks $A_{1} B_{1} C_{1}$ die Flächenformel mit dem Sinus.

Das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ ist gleichschenklig mit der Basis $B_{3} C_{3}$ .
Berechnen Sie die zugehörige x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ . (2 P)

Das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ ist gleichschenklig mit der Basis $B_{3} C_{3}$ .
Daraus folgt, dass Die Seiten $| A_{3} B_{3} |$ und $| A_{3} C_{3} |$ die gleiche Länge besitzen.
Da $| A_{3} C_{3} |$ immer 5 LE besitzt, muss also gelten: $| A_{3} B_{3} | = 5$ LE
Setze 5 LE mit der allgemeinen Formel für $| A_{n} B_{n} |$ gleich:
$| A_{n} B_{n} | (x)$ $=$ $5$
$0,78 \cdot {0,75}^{x - 2} + 4$ $=$ $5$ $- 4$
$0,78 \cdot {0,75}^{x - 2}$ $=$ $1$ $: 0,78$
${0,75}^{x - 2}$ $\approx$ $1,28$ $\log_{0,75}$
$x - 2$ $=$ $\log_{0,75} (1,28)$ $+ 2$
$x$ $\approx$ $- 0,86 + 2$
$x$ $=$ $1,14$
Überlege dir, welche Auswirkung ein gleichschenkliges Dreieck auf die Seitenlängen eines Dreiecks hat.
Schließe nun auf die Seitenlänge der unbekannten Seite $| A_{3} B_{3} |$ .
Berechne $x_{A_{3}}$ mit $| A_{n} B_{n} | (x)$ und dem Wert von $| A_{3} B_{3} | (x) = 5 LE$ .

Begründen Sie, weshalb das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ gleichseitig ist. (1,5 P)

Bei einem Gleichschenkligen Dreieck haben die beiden Basiswinkel dasselbe Winkelmaß. Es gilt also:
$∢ C B A = ∢ A C B$
Wir kennen bereits einen Winkel im Dreieck: $∢ B A C = 60^{\circ}$
Durch die Innenwinkelsumme eines Dreiecks folgt deshalb:
$\begin{array}{l} ∢ B A C + ∢ C B A + ∢ A C B = 180 ° \\ 60 ° + 2 \cdot ∢ C B A = 180 ° \\ 2 \cdot ∢ C B A = 120 ° \\ ∢ C B A = 60 ° \end{array}$
Skizze gleichschenkliges Dreieck
Also gilt: $∢ B A C = ∢ C B A = ∢ A C B = 60 °$ und somit müssen alle Seiten die gleiche Länge besitzen und des handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck.
Überlege dir, welche Konsequenzen ein gleichschenkliges Dreieck für die Winkelmaße in dem Dreieck hat.
Berechne alle Winkel des Dreiecks $A_{3} B_{3} C_{3}$ . Nutze hierfür bekannte Maße und die Innenwinkelsumme eines Dreiecks
Folgere daraus, dass es sich bei $A_{3} B_{3} C_{3}$ um ein gleichseitiges Dreieck handeln muss.

Aufgabe B4

Das Trapez $A B C D$ mit $A D ∥ B C$ ist die Grundfläche des Prismas $A B C D E F G H$ mit der Höhe $A E$ (siehe Skizze).

Es gilt: $A B = 5,5 cm$ ; $A D = 8 cm$ ;

$∢ B A D = 90^{\circ}$ ; $B C = 6 cm$ ; $A E = 9 cm$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $A B C D E F G H$ und die Strecke $A F$ , wobei die Strecke $A B$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $B$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}$ ; $ω = 45^{\circ}$ .
Zeigen Sie sodann, dass für das Maß des Winkels $F A E$ gilt: $∢ F A E = {31,43}^{\circ}$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen
Zeichnung Schrägbild Prisma:
Berechnung $∢ F A E$ mithilfe des Tangens
(Im folgenden wird abgekürzt: AK: Ankathete, GK: Gegenkathete und HY: Hypotenuse)
$\tan (∢ F A E) = [\frac{G K}{A K}] = \frac{| E F |}{| A E |} = \frac{5,5 c m}{9 c m} = 0, 6$
$\Rightarrow ∢ F A E = 31,43 °$
Zeichne das Schrägbild des Prismas.
Berechne das Maß des Winkels $F A E$ mit dem Tangens.
Punkte $S_{n}$ liegen auf der Strecke $A F$ . Die Winkel $A E S_{n}$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 0^{\circ}; 90^{\circ}]$ . Die Punkte $S_{n}$ sind die Spitzen von Pyramiden $A B C D S_{n}$ mit den Höhen $S_{n} T_{n}$ .
Es gilt: $T_{n} \in A B$ .
Zeichnen Sie für $φ = 70^{\circ}$ die Strecke $E S_{1}$ , die Pyramide $A B C D S_{1}$ und die Höhe $S_{1} T_{1}$ in das Schrägbild zu a) ein.
Ermitteln Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecken $A S_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ .
(3,5 P)
$[$ Teilergebnis: $| A S_{n} (φ) | = \frac{9 \cdot \sin φ}{\sin (φ + {31,43}^{\circ})} cm]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Zeichnung
$φ = 70 °$ an $A E$ antragen, schneidet $A F$ in $S_{1}$ ;
$S_{1}$ mit den Eckpunkten $A, B, C, D$ verbinden;
Höhe durch $S_{1}$ $⊥$ zur Strecke $A B$ zeichnen
Berechnung der Strecke $| A S_{n} |$ mithilfe der Verhältnisgleichung der Strecken $| A S_{n} |$ und $| A E |$ und deren Sinus
Dafür halten wir fest, dass der Winkel gegenüber $| A S_{n} |$ $φ$ beträgt.
Den Winkel gegenüber $| A E |$ berechnen wir mithilfe der Innenwinkelsumme eines Dreiecks: $180 - (φ + 31,43)$
$\frac{| A S_{n} |}{| A E |}$ $=$ $\frac{\sin φ}{\sin (180 ° - (φ + 31,43))}$ $\cdot | A E |$
$| A S_{n} |$ $=$ $\frac{| A E | \cdot \sin φ}{\sin (180 ° - (φ + 31,43))}$
↓
$| A E |$ einsetzen
$| A S_{n} |$ $=$ $\frac{9 \cdot \sin φ}{\sin (180 ° - (φ + 31,43))}$
Ergänze die Pyramide in deiner Zeichnung.
Berechne die Strecke $| A S_{n} |$ mit dem Sinussatz.

In der Pyramide $A B C D S_{2}$ gilt: $| A T_{2} | = 3,5 cm$ .

Berechnen Sie die Länge der Strecke $A S_{2}$ sowie den zugehörigen Wert für $φ$ . (3,5 P)

$[$ Teilergebnis: $| A S_{2} | = 6,71 cm]$

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A B C D S_{n}$ in
Abhängigkeit von $φ$ gilt: $V (φ) = \frac{98,56 \cdot \sin φ}{\sin (φ + {31,43}^{\circ})} {cm}^{3}$ . (3 P)
Volumen der Pyramide
Allgemein gilt:
$V_{Pyr} = \frac{1}{3} \cdot G_{Trapez A B C D} \cdot h_{Pyramide A B C D S_{n}}$
mit $G_{Trapez A B C D} = \frac{1}{2} \cdot (| A D | + | B C |) \cdot | A B |$ und
mit $h_{Pyramide A B C D S_{n}} = | S_{n} T_{n} |$
$\Rightarrow V_{P y r} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (| A D | + | B C |) \cdot | A B | \cdot | S_{n} T_{n} |$
Bekannt ist schon:
$| A D | = 8 c m$
$| B C | = 6 c m$
$| A B | = 5,5 c m$
Die noch fehlende Größe $| S_{n} T_{n} |$ wird berechnet
$\sin (90 ° - 31,43 °) = [\frac{G K}{H Y}] = \frac{| S_{n} T_{n} |}{| A S_{n} |}$
Hierbei sind $| A S_{n} | = \frac{9 \cdot \sin φ}{\sin (φ + 31,43 °)}$ (vgl. Aufgabe 4 b)
und $\sin (90 ° - 31,43 °) = \sin (58,57 °) \approx 0,853$
Damit wird
$| S_{n} T_{n} | = 0,853 \cdot | A S_{n} | = 0,853 \cdot \frac{9 \cdot \sin φ}{\sin (φ + 31,43 °)} = 7,68 \cdot \frac{\sin φ}{\sin (φ + 31,43 °)}$
Wir setzen $| S_{n} T_{n} |$ in die vorher aufgestellte Formel ein
$\Rightarrow V_{Pyr} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (8 + 6) \cdot 5,5 \cdot 7,68 \cdot \frac{\sin φ}{\sin (φ + 31,43 °)}$
$\Rightarrow V_{Pyr (φ)} = 98,56 \cdot \frac{\sin φ}{\sin (φ + 31,43 °)}$
Berechne des Volumens $V$ der Pyramide $A B C D S_{n}$ .
Bestimme dazu die Länge $| S_{n} T_{n} |$ mit dem Sinus.
Unter den Strecken $E S_{n}$ hat die Strecke $E S_{0}$ die minimale Länge.
Begründen Sie, dass für die zugehörige Belegung für $φ$ gilt: $φ = {58,57}^{\circ}$ .
Berechnen Sie sodann den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $A B C D S_{0}$ am Volumen des Prismas $A B C D E F G H$ . (3,5 P)
%
Berechne $φ$ im Dreieck $A E S_{0}$ : es gilt $φ = 180 ° - 90 ° - 31,43 ° = 58,57 °$
Nun berechnen wir das Volumen mit der Formel aus d
Dafür setzen wir $φ = 58,57 °$ in die Gleichung aus d ein:
$98,56 \cdot \frac{\sin φ}{\sin (φ + 31,43 °)}$
↓
Wert $φ = 58,57 °$ einsetzen
$=$ $98,56 \cdot \frac{\sin (58,57 °)}{\sin (58,57 ° + 31,43 °)}$
$=$ $98,56 \cdot \frac{\sin (58,57 °)}{\sin (90 °)}$
$=$ $98,56 \cdot \frac{0,853}{1}$
$=$ $84,07 c m^{3}$
Jetzt berechnen wir das Gesamtvolumen des Prismas
Hierfür nutzen wir die berechneten Werte aus d
$V_{Prisma} = G \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (| A D | + | B C |) \cdot | A B | \cdot h$
$V_{Prisma} = \frac{1}{2} \cdot (8 + 6) \cdot 5,5 \cdot 9 c m^{3}$
$V_{Prisma} = 346,5 c m^{3}$
Zuletzt berechnen wir mit den beiden Volumen den prozentualen Anteil
$\frac{V_{(Pyr)}}{V_{(Prisma)}} = \frac{84,10 c m^{3}}{346,5 c m^{3}} = 0,2427 ≙ 24,27 %$
Überlege dir, wie groß der Winkel $φ$ sein muss, damit $E S_{0}$ eine minimale Länge annimmt.
Setze dieses Winkelmaß $φ$ in die Volumenformel aus Aufgabenteil d ein.
Berechne danach das Volumen des Prismas $A B C D E F G H$ , sowie den prozentualen Anteil der Pyramide am Volumen des Prismas.

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$\vec{A C_{n}} (x)$	$=$	$\underset{Beschreibt die Drehung von \vec{A B_{n}}}{\underset{⏟}{R_{α} ⊙ \vec{A B_{n}}}}$
	↓	Die Matrix und den Vektor einsetzen.
	$=$	$(\begin{array}{cc} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x - 3 \\ - x + 3 - 3 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{cc} \cos (45) & - \sin (45) \\ \sin (45) & \cos (45) \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x - 3 \\ - x + 3 - 3 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{cc} 0,71 & - 0,71 \\ 0,71 & 0,71 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x - 3 \\ - x \end{array})$
	↓	$Multiplikationsregel: (\begin{array}{c} x^{^{'}} \\ y^{^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{c} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 0,71 \cdot (x - 3) + (- 0,71) \cdot (- x) \\ 0,71 \cdot (x - 3) + 0,71 \cdot (- x) \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 0,71 x - 3 \cdot 0,71 + (- 0,71) \cdot (- x) \\ 0,71 x - 3 \cdot 0,17 - 0,71 x \end{array}) = (\begin{array}{c} 1,42 x - 2,13 \\ - 2,13 \end{array})$

$\cos φ$	$=$	$\frac{AK}{HY}$
$\cos (90 ° - 31,43 °)$	$=$	$\frac{3,5 cm}{A S_{2}}$
	↓	auflösen nach $A S_{2}$
$\| A S_{2} \|$	$=$	$\frac{3,5 cm}{\cos (58,57 °)}$
$\| A S_{2} \|$	$=$	$6,71$

$6,71$	$=$	$\frac{9 \cdot \sin φ}{\sin (φ + {31,43}^{\circ})}$
$\frac{6,71}{9}$	$=$	$\frac{\sin φ}{\sin (φ + {31,43}^{\circ})}$
	↓	mit Additionstheorem für Sinus: $\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \cdot \sin β \cdot \cos α$
$0,746$	$=$	$\frac{\sin φ}{\sin φ \cdot cos (31,43) + sin (31,43) \cdot \cos φ}$
$0,746$	$=$	$\frac{\sin φ}{\sin φ \cdot 0,85 + 0,52 \cdot \cos φ}$	$\cdot \sin ⁡ (φ) \cdot 0,853 + 0,521 \cdot \cos ⁡ (φ)$
$\sin ⁡ (φ)$	$=$	$0,746 \cdot [(\sin ⁡ (φ) \cdot 0,853 + 0,521 \cdot \cos ⁡ (φ)]$
$\sin ⁡ (φ)$	$=$	$0,636 \cdot \sin ⁡ (φ) + 0,389 \cdot \cos ⁡ (φ)$	$: \sin (φ)$
$1$	$=$	$\frac{0,636 \cdot \sin ⁡ (φ)}{\sin ⁡ (φ)} + \frac{0,389 \cdot \cos ⁡ (φ)}{\sin ⁡ ⁡ (φ)}$
	↓	$\sin ⁡ ⁡ (φ)$ im ersten Bruch kürzen
$1$	$=$	$0,636 + 0,389 \cdot \frac{\cos ⁡ (φ)}{\sin ⁡ (φ)}$
	↓	ersetze $\frac{\sin ⁡ (φ)}{\cos ⁡ (φ)} = \tan ⁡ (φ)$
$1$	$=$	$0,636 + 0,389 \frac{1}{\tan ⁡ (φ)}$	$0,636$
$0,364$	$=$	$0,389 \frac{1}{\tan ⁡ (φ)}$	$: 0,388$
$\frac{0,364}{0,389}$	$=$	$\frac{1}{\tan ⁡ (φ)}$
	↓	Kehrbruch
$\tan ⁡ (φ)$	$=$	$\frac{0,389}{0,363}$	${tan}^{- 1}$
$φ$	$=$	$\tan^{- 1} (\frac{0,389}{0,364}) = {46,90}^{\circ}$

Teil B

Aufgabe B1

Bestimmung von $B_{2}$ mithilfe von $B_{n}$

Berechnung der fehlenden Winkel

Vervollständigung der Zeichnung

Wir überlegen uns, woraus sich $C_{n}$ zusammensetzt:

Gleichung für $\vec{A C_{n}}$ mit Drehmatrix und Vektor $\vec{A B_{n}}$ aufstellen:

Berechnung $\vec{O C_{n}}$

Aufgabe B2

Erster Ast

Zweiter Ast

Wir überlegen uns, woraus sich die Fehlerquote zusammensetzt:

Nun setzen wir die Wahrscheinlichkeiten aus unserem Baumdiagramm ein:

Aufgabe B3

Wertebereich von $f_{1}$

Wertetabelle für die einzelnen Funktionen

Mithilfe der erhaltenen Werte zeichnen wir die beiden Graphen

Parallelverschiebung der Funktion $f_{1}$ auf $f_{2}$ mit $\vec{v}$

$x^{'}$ in die zweite Gleichung einsetzen

$△ A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 2$ bestimmen

$△ A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 3,5$ bestimmen

Einzeichnen $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ und $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ mit berechneten Punktewerten und Winkel:

Berechnung der $x -$ Koordinate von Punkt $C_{1}$

Berechnung der Strecke $| A_{n} B_{n} |$

Fläche $A_{△ A_{1} B_{1} C_{1}}$ berechnen mit der Flächenformel:

Setze 5 LE mit der allgemeinen Formel für $| A_{n} B_{n} |$ gleich:

Aufgabe B4

Zeichnung Schrägbild Prisma:

Berechnung $∢ F A E$ mithilfe des Tangens

Zeichnung

Berechnung der Strecke $| A S_{n} |$ mithilfe der Verhältnisgleichung der Strecken $| A S_{n} |$ und $| A E |$ und deren Sinus

Länge der Strecke berechnen

Berechnung von $φ$ mit der allgemeinen Formel aus b

Volumen der Pyramide

Die noch fehlende Größe $| S_{n} T_{n} |$ wird berechnet

Wir setzen $| S_{n} T_{n} |$ in die vorher aufgestellte Formel ein

Nun berechnen wir das Volumen mit der Formel aus d

Jetzt berechnen wir das Gesamtvolumen des Prismas

Zuletzt berechnen wir mit den beiden Volumen den prozentualen Anteil

$p (F)$	$=$	$p (T \cap F) + p (H \cap F)$
	↓	Pfadregeln
$p (F)$	$=$	$0,35 \cdot 0,18 + 0,65 \cdot p$
	↓	$p (F)$ einsetzen
$0,15$	$=$	$0,063 + 0,65 \cdot p$	$- 0,063$
$0,087$	$=$	$0,65 \cdot p$	$: 0,65$
$p$	$\approx$	$0,1338$

$\sin (60 °)$	$=$	$\frac{G K}{H Y}$
$\sin (60 °)$	$=$	$\frac{x_{C_{1}} - x_{A_{1}}}{A_{1} C_{1}}$
$\sin (60 °)$	$=$	$\frac{x_{C_{1}} - (- 2)}{5}$	$\cdot 5$
$5 \cdot \sin (60 °)$	$=$	$x_{C_{1}} + 2$	$- 2$
$x_{C_{1}}$	$=$	$5 \cdot \sin (60 °) - 2$
	$\approx$	$2,33 LE$

$\| A_{n} B_{n} \| (x)$	$=$	$5$
$0,78 \cdot {0,75}^{x - 2} + 4$	$=$	$5$	$- 4$
$0,78 \cdot {0,75}^{x - 2}$	$=$	$1$	$: 0,78$
${0,75}^{x - 2}$	$\approx$	$1,28$	$\log_{0,75}$
$x - 2$	$=$	$\log_{0,75} (1,28)$	$+ 2$
$x$	$\approx$	$- 0,86 + 2$
$x$	$=$	$1,14$

$\frac{\| A S_{n} \|}{\| A E \|}$	$=$	$\frac{\sin φ}{\sin (180 ° - (φ + 31,43))}$	$\cdot \| A E \|$
$\| A S_{n} \|$	$=$	$\frac{\| A E \| \cdot \sin φ}{\sin (180 ° - (φ + 31,43))}$
	↓	$\| A E \|$ einsetzen
$\| A S_{n} \|$	$=$	$\frac{9 \cdot \sin φ}{\sin (180 ° - (φ + 31,43))}$

	$98,56 \cdot \frac{\sin φ}{\sin (φ + 31,43 °)}$
	↓ Wert $φ = 58,57 °$ einsetzen
$=$	$98,56 \cdot \frac{\sin (58,57 °)}{\sin (58,57 ° + 31,43 °)}$
$=$	$98,56 \cdot \frac{\sin (58,57 °)}{\sin (90 °)}$
$=$	$98,56 \cdot \frac{0,853}{1}$
$=$	$84,07 c m^{3}$

Teil B

Aufgabe B1

Bestimmung von B2 mithilfe von Bn

Berechnung der fehlenden Winkel

Vervollständigung der Zeichnung

Wir überlegen uns, woraus sich Cn zusammensetzt:

Gleichung für ACn→ mit Drehmatrix und Vektor ABn→ aufstellen:

Berechnung OCn→

Aufgabe B2

Erster Ast

Zweiter Ast

Wir überlegen uns, woraus sich die Fehlerquote zusammensetzt:

Nun setzen wir die Wahrscheinlichkeiten aus unserem Baumdiagramm ein:

Aufgabe B3

Wertebereich von f1

Wertetabelle für die einzelnen Funktionen

Mithilfe der erhaltenen Werte zeichnen wir die beiden Graphen

Parallelverschiebung der Funktion f1 auf f2 mit v→

x′ in die zweite Gleichung einsetzen

△A1B1C1 für x=−2 bestimmen

△A2B2C2 für x=3,5 bestimmen

Einzeichnen △A1B1C1 und △A2B2C2 mit berechneten Punktewerten und Winkel:

Berechnung der x−Koordinate von Punkt C1

Berechnung der Strecke |AnBn|

Fläche A△A1B1C1 berechnen mit der Flächenformel:

Setze 5 LE mit der allgemeinen Formel für |AnBn| gleich:

Aufgabe B4

Zeichnung Schrägbild Prisma:

Berechnung ∢FAE mithilfe des Tangens

Zeichnung

Berechnung der Strecke |ASn| mithilfe der Verhältnisgleichung der Strecken |ASn| und |AE| und deren Sinus

Länge der Strecke berechnen

Berechnung von φ mit der allgemeinen Formel aus b

Volumen der Pyramide

Die noch fehlende Größe |SnTn| wird berechnet

Wir setzen |SnTn| in die vorher aufgestellte Formel ein

Nun berechnen wir das Volumen mit der Formel aus d

Jetzt berechnen wir das Gesamtvolumen des Prismas

Zuletzt berechnen wir mit den beiden Volumen den prozentualen Anteil

Bestimmung von $B_{2}$ mithilfe von $B_{n}$

Wir überlegen uns, woraus sich $C_{n}$ zusammensetzt:

Gleichung für $\vec{A C_{n}}$ mit Drehmatrix und Vektor $\vec{A B_{n}}$ aufstellen:

Berechnung $\vec{O C_{n}}$

Wertebereich von $f_{1}$

Parallelverschiebung der Funktion $f_{1}$ auf $f_{2}$ mit $\vec{v}$

$x^{'}$ in die zweite Gleichung einsetzen

$△ A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 2$ bestimmen

$△ A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 3,5$ bestimmen

Einzeichnen $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ und $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ mit berechneten Punktewerten und Winkel:

Berechnung der $x -$ Koordinate von Punkt $C_{1}$

Berechnung der Strecke $| A_{n} B_{n} |$

Fläche $A_{△ A_{1} B_{1} C_{1}}$ berechnen mit der Flächenformel:

Setze 5 LE mit der allgemeinen Formel für $| A_{n} B_{n} |$ gleich:

Berechnung $∢ F A E$ mithilfe des Tangens

Berechnung der Strecke $| A S_{n} |$ mithilfe der Verhältnisgleichung der Strecken $| A S_{n} |$ und $| A E |$ und deren Sinus

Berechnung von $φ$ mit der allgemeinen Formel aus b

Die noch fehlende Größe $| S_{n} T_{n} |$ wird berechnet

Wir setzen $| S_{n} T_{n} |$ in die vorher aufgestellte Formel ein