Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

Eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform

Erstelle zunächst die Ebenengleichung $L$ in Parameterform:

$L=E_{DEF}:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{D}+r\cdot \overrightarrow{DE}+s\cdot \overrightarrow{DF}$

Berechne die Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{E}-\overrightarrow{D}=\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{F}-\overrightarrow{D}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 12\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 6\end{array}\right)$

Berechne den Normalenvektor der Ebene $L$ über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von $L$.

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{DE}\times \overrightarrow{DF}$

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18\\ 36\\ 27\end{array}\right)=9\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)$

Benutze den verkürzten Normalenvektor ${\overrightarrow{n}}_L=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)$.

Für die Normalenform gilt: $L:(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{D})\circ {\overrightarrow{n}}_L=0$

Die Gleichung der Ebene $L$ lautet: $x_1\cdot 2+x_2\cdot 4+x_3\cdot 3-42=0$

Berechnung der Größe $\phi$ des Winkels, den $L$ mit der $x_1{x}_2$-Ebene einschließt

Der Normalenvektor der Ebene $L$ ist der Vektor ${\overrightarrow{n}}_L=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)$.

Sein Betrag ist $|{\overrightarrow{n}}_L|=\sqrt{2^2+4^2+3^2}=\sqrt{29}$.

Der Normalenvektor der $x_1{x}_2$-Ebene ist ${\overrightarrow{n}}_{x_1{x}_2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

Sein Betrag ist $|{\overrightarrow{n}}_{x_1{x}_2}|=1$.

Der Winkel zwischen den beiden Ebenen berechnet sich mit:

Der Winkel $\phi$ erhält man durch Anwendung der trigonometrischen Umkehrfunktion:

$\phi ={\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{3}{\sqrt{29}}}\right)\approx {\mathrm{56,15}}^{\circ }$

Der Winkel, den $L$ mit der $x_1{x}_2$-Ebene einschließt, beträgt rund ${\mathrm{56,15}}^{\circ }$.

Veranschaulichung des Terms $6\cdot 6-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\cdot 3-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}3\cdot 6$

In der folgenden Abbildung sind mehrere Flächen farbig markiert.

Innerhalb eines Quadrates liegen vier Dreiecke.

Warum ist es ein Quadrat?

Die Punkte A und B liegen auf diesem Quadrat. Der Punkt $A$ hat die $x_1$-Koordinate $6$ und der Punkt $B$ hat die $x_2$-Koordinate $6$.

$\Rightarrow A_{\square }=6\cdot 6$

Das ist der erste Term von $6\cdot 6-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\cdot 3-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\cdot 6$.

Der Punkt $A$ hat die $x_2$-Koordinate $3$ und der Punkt $C$ hat die $x_1$-Koordinate $3$.

Die Fläche des $\text{ grün}$ gefärbten Dreiecks ist dann $A_{△}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\cdot 3$.

Das ist der zweite Term von $6\cdot 6-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\cdot 3-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\cdot 6$.

Die beiden $\text{rot}$ gefärbten Dreiecke haben die Seitenlängen $3$ und $6$ und ihre Fläche ist jeweils $A_{△}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\cdot 6$.

Diese beiden Dreiecksflächen ergeben zusammen den dritten Term in dem gegebenen Term.

Da vom Flächeninhalt der Quadratfläche insgesamt drei Flächeninhalte der Dreiecke subtrahiert werden, bleibt als Ergebnis der Flächeninhalt des $\text{braunen}$ Dreiecks $ABC$ übrig.

Der gegebene Term stellt also den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ dar.

Das Volumen des Körpers $ABCDEF$

Der Körper setzt sich aus zwei Teilen zusammen, ein dreiseitiges Prisma und eine dreiseitige Pyramide.

Volumen des dreiseitigen Prismas

$V_{\text{Prisma}}=G\cdot h$

Die Grundseite $G$ ist das Dreieck $ABC$ aus der Aufgabe c).

Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist:

$G=A_{△}=6\cdot 6-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\cdot 3-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\cdot 6=36-\mathrm{4,5}-18=\mathrm{13,5}\text{FE}$

Das Prisma hat die Höhe $h=6\text{LE}$, da die $x_3$-Koordinate des Punktes $D$ gleich $6$ ist.

Setze die Werte für $G$ und $h$ in die Volumenformel ein:

$\Rightarrow V_{\text{Prisma}}=\mathrm{13,5}\cdot 6=81\text{VE}$

Volumen der dreiseitigen Pyramide

$V_{\text{Pyramide}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h$

Die dreiseitige Pyramide hat die gleiche Grundfläche wie das Prisma ($G=\mathrm{13,5}\text{FE}$).

Die Höhe der Pyramide ist $h=12-6=6\text{LE}$, da die Differenz der $x_3$-Koordinaten der Punkte $F$ und $D$ gleich $6$ ist.

Setze die Werte für $G$ und $h$ in die Volumenformel ein:

$\Rightarrow V_{\text{Pyramide}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{13,5}\cdot 6=27\text{VE}$

Das Gesamtvolumen des Körpers $ABCDEF$ ist dann:

$V_{\text{gesamt}}=V_{\text{Prisma}}+V_{\text{Pyramide}}=(81+27)\text{VE}=108\text{VE}$

Die Ebene $N_k$ enthält die $x_3$-Achse und den Punkt $P(1-k|k|0)$ mit $k\in ]0;1[$.

Es werden zunächst die Ebenen an den Rändern des Intervalls, in dem $k$ liegt, also die Ebenen für $k=0$ und $k=1$ betrachtet.

Für $k=0$ liegt der Punkt $P_0(1|0|0)$ in der Ebene $N_0$. Diese Ebene ist die $x_1{x}_3$-Ebene, die in der folgenden Abbildung eingezeichnet ist.

Für $k=1$ liegt der Punkt $P_1(0|1|0)$ in der Ebene $N_1$. Diese Ebene ist die $x_2{x}_3$-Ebene, die in der folgenden Abbildung eingezeichnet ist.

Interessant ist nun eine Ebene, die zwischen den Ebenen $N_0$ und $N_1$ liegt, z.B. die Ebene, die durch den Punkt $A$ verläuft.

Für welches $k$ enthält die Ebene $N_k$ den Punkt $A(6|3|0)$?

Man erstellt eine Geradengleichung $g_{OA}$, die durch den Ursprung verläuft und den Punkt A enthält.

$g_{OA}:\overrightarrow{X}=r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 0\end{array}\right)$

Der Punkt $P_k$ soll auf der Geraden $g_{OA}$ liegen:

$P_k\cap g_{OA}$

Es ergeben sich zwei Gleichungen:

$(\mathrm{I}):1-k=6r\Rightarrow ({\mathrm{I}}^{\prime }):r={\displaystyle \frac{1-k}{6}}$

$(\mathrm{I}\mathrm{I}):k=3r\Rightarrow (\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):r={\displaystyle \frac{k}{3}}$

Aus $({\mathrm{I}}^{\prime })=(\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })$ folgt:

Für $k={\displaystyle \frac{1}{3}}$ verläuft die Ebene $N_{\frac{1}{3}}$ durch den Punkt $A$.

Diese Ebene ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Durchläuft nun $k$ die Werte von $0$ bis $1$, dreht sich die Ebene $N_k$ um die $x_3$-Achse.

Dabei werden zwei verschiedene Bereiche $]a;b[$ durchlaufen, sodass die Ebene $N_k$ für alle Werte von $k$ aus $]a;b[$ die gleichen Kanten des Körpers schneidet.

Der erste Bereich ist das Intervall $]0;\frac{1}{3}[$ mit einer Intervalllänge von ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, der zweite Bereich ist das Intervall $]\frac{1}{3};1[$ mit einer Intervalllänge von ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Gesucht ist der größere Bereich, also hier das Intervall $]\frac{1}{3};1[$.

In diesem Bereich werden die Kanten $[AB]$, $[DE]$, $[BC]$ und $[EF]$ geschnitten.

Die $x_3$-Koordinate von $Q$

Das Dreieck $FQR$ hat in $Q$ einen rechten Winkel. Daher gilt:

$\overrightarrow{QR}⟂\overrightarrow{QF}\Rightarrow \overrightarrow{QR}\circ \overrightarrow{QF}=0$

Der Punkt $Q$ hat dieselben $x_1$- und $x_2$-Koordinaten wie der Punkt $A$.

$\Rightarrow Q(6|3|q_3)$

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{QR}$ und $\overrightarrow{QF}$:

$\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{R}-\overrightarrow{Q}=\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ q_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2-q_3\end{array}\right)$

$\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{F}-\overrightarrow{Q}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 12\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ q_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 12-q_3\end{array}\right)$

Die erhaltene quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel gelöst werden.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel. Die Werte für $p$ und $q$ werden abgelesen:

$p=-14$ und $q=33$

$q_3$ ist somit entweder $11$ oder $3$. Die Lösung $q_3=11$ entfällt, da $q_3$ zwischen $0$ und $6$ liegen muss ($A$ hat die $x_3$-Koordinate $0$ und $D$ hat die $x_3$-Koordinate $6$).

Die $q_3$-Koordinate von $Q$ ist also $3$ und der Punkt $Q$ hat die Koordinaten $Q(6|3|3)$.

Die folgende Abbildung ist nicht gefordert, sie dient nur der Veranschaulichung.

Geben Sie die Bedeutung von $S$ an

Der Körper wird so um die Gerade $AB$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_1{x}_2$-Ebene liegt und dabei eine positive $x_2$ Koordinate hat.

Es handelt sich also um eine ${90}^{\circ }$-Drehung.

Gegeben ist die folgende Gleichung:

$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)]=0$

Es handelt sich hier um ein Skalarprodukt, das gleich null ist. Die beiden beteiligten Vektoren müssen also senkrecht aufeinander stehen.

Der erste Vektor ist der Vektor $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)$.

Man betrachtet nun den Vektor in der eckigen Klammer.

$[\underset{g_{AB}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)}}-\underset{\overrightarrow{C}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)}}]$

Es handelt sich um die Differenz zwischen einem beliebigen Punkt $S$ auf der Geraden $g_{AB}$ durch die Punkte $B$ und $A$ und dem Vektor $\overrightarrow{C}$.

Dabei ist die Gerade $g_{AB}$ gegeben durch:

$g_{BA}:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{B}+\lambda \cdot \overrightarrow{BA}=\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 0\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 0\end{array}\right)$

Die eckige Klammer stellt somit den Vektor $\overrightarrow{CS}$ dar.

Es ist also:

$\overrightarrow{BA}\circ \overrightarrow{CS}=0\Rightarrow \overrightarrow{BA}⟂\overrightarrow{CS}$

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung

Die Lösung der Gleichung $\overrightarrow{BA}\circ \overrightarrow{CS}=0$ liefert für $\lambda$ den Wert $\lambda =\mathrm{0,8}$.

Einsetzen von $\lambda =\mathrm{0,8}$ in die Geradengleichung $g_{AB}$ ergibt die Koordinaten des Lotfußpunktes $S(\mathrm{4,8}|\mathrm{3,6}|0)$.

Für den Punkt T gilt die Gleichung:

$\overrightarrow{T}=\overrightarrow{S}+\left|\overrightarrow{CS}\right|\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Die folgende Abbildung verdeutlicht diese Gleichung.

Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung.