Aufgaben zu trigonometrischen Gleichungen

Lerne mit diesen Aufgaben, trigonometrische Gleichungen zu lösen. Schaffst du sie alle?

1
Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an.
$\tan (x) = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
$\tan (x)$ $=$ $0$
↓
Die Nullstellen der Tangensfunktion sind $k π$ . Dies kannst du im Artikel zur Tangensfunktion nachlesen.
Lösung:
$x = k π, k \in ℤ$

${(\sin (x))}^{2} = \frac{3}{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
${(\sin (x))}^{2}$ $=$ $\frac{3}{4}$ $\sqrt{}$
↓
Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel
$\sin (x)$ $=$ $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$
↓
Wende die Wurzelgesetze an.
$\sin (x)$ $=$ $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
↓
Löse mit Hilfe von arcsin nach $x$ auf.
$\begin{array}{ccccc} x_{1} & = & \frac{π}{3} + 2 kπ, & k \in ℤ \\ x_{2} & = & - \frac{π}{3} + 2 kπ, & k \in ℤ \end{array}$

${(\tan (x))}^{2} = 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
${(\tan (x))}^{2}$ $=$ $1$ $\sqrt{}$
↓
Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.
$\tan (x)$ $=$ $\pm \sqrt{1}$
↓
Löse mit Hilfe von $a r c t a n$ nach x auf.
$\tan (x)$ $=$ $\pm 1$
$\begin{array}{ccccc} x_{1} & = & \frac{π}{4} + 2 kπ, & k \in ℤ \\ x_{2} & = & - \frac{π}{4} + 2 kπ, & k \in ℤ \end{array}$

$\sin (x) = 1 - {(\cos (x))}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
$\sin (x)$ $=$ $1 - {(\cos (x))}^{2}$
↓
Wende den Trigonometrischen Pythagoras an.
$\sin (x)$ $=$ ${(\sin (x))}^{2}$
$\sin (x) - {(\sin (x))}^{2}$ $=$ $0$
$\sin (x) \cdot (1 - \sin (x))$ $=$ $0$
Also ist $\sin (x) = 0$ oder $\sin (x) = 1.$ Daraus erhalten wir die Lösungen
$\begin{array}{l} x_{1} = k π oder \\ x_{2} = \frac{π}{2} + 2 kπ, k \in ℤ \end{array}$
2
Löse die Gleichung $\sin (2 x) = 0,5$ nach $x$ zwischen $0 °$ und $360 °$ auf. Verwende dabei die Umkehrfunktion des Sinus (arcsin).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: trigonometrische Umkehrfunktionen
$\sin (2 x)$ $=$ $0,5$
↓
Wende den $\arcsin ()$ auf beide Seiten an, um das $x$ aus der Sinusfunktion zu lösen.
$2 x$ $=$ $\arcsin (\frac{1}{2})$ $: 2$
$x$ $=$ $\frac{\arcsin (0,5)}{2}$
$x_{1} = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ}$
$x_{2} = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$
3
Löse folgende Gleichung:
$\sin (x) = \cos (x) - 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Eigenschaften von Sinus und Kosinus
$\sin (x) = \cos (x) - 1$
Stelle eine Tabelle mit wichtigen Funktionswerten auf.
$x$
$0$
$\frac{π}{2}$
$π$
$\frac{3 π}{2}$
$s i n (x)$
$0$
$1$
$0$
$- 1$
$c o s (x)$
$1$
$0$
$- 1$
$0$
$c o s (x) - 1$
$0$
$- 1$
$- 2$
$- 1$
Suche gleiche Funktionswerte.
$\begin{array}{l} \sin (0) = \cos (0) - 1 = 0 \\ \sin (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{3 π}{2}) - 1 = - 1 \end{array}$
$x = 0$ und $x = \frac{3 π}{2}$ sind Lösungen. Periodizität beachten.
Lösungen: $x_{1} = 0 + 2 k π, x_{2} = \frac{3 π}{2} + 2 k π, k \in ℤ$
Anhand von Funktionsgraphen kann man erkennen, dass es keine weiteren Lösungen gibt.
4
Berechne $\cos (300^{\circ})$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Additionstheoreme
Gegeben ist: $\cos (300^{\circ})$
Den Winkel $300 °$ kannst du zerlegen, z.B. so: $300 ° = 270 ° + 30 °$ . Damit erhältst du:
$\cos (300 °) = \cos (270^{\circ} + 30^{\circ})$
Benutze nun das Additionstheorem für den Cosinus:
$\cos (270^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos (270^{\circ}) \cos (30^{\circ}) - \sin (270^{\circ}) \sin (30^{\circ})$
Die hier vorkommenden Werte für Sinus und Cosinus kannst du in der Winkeltabelle nachschauen. Du erhältst
$\underset{= 0}{\underset{⏟}{\underset{= 0}{\underset{⏟}{\cos (270^{\circ})}} \cos (30^{\circ})}} - \underset{= (- 1)}{\underset{⏟}{\sin (270^{\circ})}} \sin (30^{\circ}) = 0 - (- 1) \cdot \sin (30^{\circ})$
Beachte nun die Vorzeichen:
$0 - (- 1) \cdot \sin (30^{\circ}) = \sin (30^{\circ})$
Auch hier kannst du wieder in der Winkeltabelle nachschauen. Insgesamt erhältst du also:
$\cos (300 °) = \sin (30 °) = 0.5$

$x$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$
$s i n (x)$	$0$	$1$	$0$	$- 1$
$c o s (x)$	$1$	$0$	$- 1$	$0$
$c o s (x) - 1$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 1$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\tan (x)$	$=$	$0$
	↓	Die Nullstellen der Tangensfunktion sind $k π$ . Dies kannst du im Artikel zur Tangensfunktion nachlesen.

${(\sin (x))}^{2}$	$=$	$\frac{3}{4}$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel
$\sin (x)$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$
	↓	Wende die Wurzelgesetze an.
$\sin (x)$	$=$	$\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
	↓	Löse mit Hilfe von arcsin nach $x$ auf.

${(\tan (x))}^{2}$	$=$	$1$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.
$\tan (x)$	$=$	$\pm \sqrt{1}$
	↓	Löse mit Hilfe von $a r c t a n$ nach x auf.
$\tan (x)$	$=$	$\pm 1$

$\sin (x)$	$=$	$1 - {(\cos (x))}^{2}$
	↓	Wende den Trigonometrischen Pythagoras an.
$\sin (x)$	$=$	${(\sin (x))}^{2}$
$\sin (x) - {(\sin (x))}^{2}$	$=$	$0$
$\sin (x) \cdot (1 - \sin (x))$	$=$	$0$

$\sin (2 x)$	$=$	$0,5$
	↓	Wende den $\arcsin ()$ auf beide Seiten an, um das $x$ aus der Sinusfunktion zu lösen.
$2 x$	$=$	$\arcsin (\frac{1}{2})$	$: 2$
$x$	$=$	$\frac{\arcsin (0,5)}{2}$