Aufgaben zu Geradengleichungen in der Ebene

Mit diesen Übungsaufgaben lernst du, Geradengleichungen anhand verschiedener Angaben in einer Ebene aufzustellen.

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Bestimme eine Geradengleichung durch die in der Ebene gegebenen Punkte in Parameterform.
$P_{1} (3 | 4)$ und $P_{2} (1 | 1)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in Parameterform
Gegeben sind die beiden Punkte $P_{1} (3 | 4)$ und $P_{2} (1 | 1)$ .
Gesucht ist eine Geradengleichung $g : \vec{x} = \vec{p_{1}} + λ \cdot \vec{u}$
mit $\vec{u} = \vec{p_{2}} - \vec{p_{1}}$
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 - 3 \\ 1 - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \end{array})$
Eine Geradengleichung durch die beiden Punkte lautet also
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \end{array})$

$P_{1} (5 | 2)$ und $P_{2} (- 1 | 1)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in Parameterform
Gegeben sind die beiden Punkte $P_{1} (5 | 2)$ und $P_{2} (- 1 | 1)$ .
Gesucht ist eine Geradengleichung $g : \vec{x} = \vec{p_{1}} + λ \cdot \vec{u}$
mit $\vec{u} = \vec{p_{2}} - \vec{p_{1}}$
$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 1 - 5 \\ 1 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \end{array})$
Eine Geradengleichung durch die beiden Punkte lautet also
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \end{array})$

$P_{1} (4 | 0)$ und $P_{2} (- 2 | - 6)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in Parameterform
Gegeben sind die beiden Punkte $P_{1} (4 | 0)$ und $P_{2} (- 2 | - 6)$ .
Gesucht ist eine Geradengleichung $g : \vec{x} = \vec{p_{1}} + λ \cdot \vec{u}$
mit $\vec{u} = \vec{p_{2}} - \vec{p_{1}}$
$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 2 - 4 \\ - 6 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ - 6 \end{array})$
Eine Geradengleichung durch die beiden Punkte lautet also
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ - 6 \end{array})$

$P_{1} (- 3 | 2)$ und $P_{2} (- 2 | 6)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in Parameterform
Gegeben sind die beiden Punkte $P_{1} (- 3 | 2)$ und $P_{2} (- 2 | 6)$ .
Gesucht ist eine Geradengleichung $g : \vec{x} = \vec{p_{1}} + λ \cdot \vec{u}$
mit $\vec{u} = \vec{p_{2}} - \vec{p_{1}}$
$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 2 - (- 3) \\ 6 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array})$
Eine Geradengleichung durch die beiden Punkte lautet also
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array})$

$P_{1} (0 | - 4)$ und $P_{2} (13 | 2)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in Parameterform
Gegeben sind die beiden Punkte $P_{1} (0 | - 4)$ und $P_{2} (13 | 2)$ .
Gesucht ist eine Geradengleichung $g : \vec{x} = \vec{p_{1}} + λ \cdot \vec{u}$
mit $\vec{u} = \vec{p_{2}} - \vec{p_{1}}$
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 13 - 0 \\ 2 - (- 4) \end{array}) = (\begin{array}{c} 13 \\ 6 \end{array})$
Eine Geradengleichung durch die beiden Punkte lautet also
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ 6 \end{array})$

Bestimme eine Geradengleichung durch die in der Ebene gegebenen Punkte in Koordinatenform.

$P_{1} (3 | 4)$ und $P_{2} (0 | 0)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Lösung mit der Zwei-Punkte-Formel:
$y = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \cdot (x - x_{1}) + y_{1}$
$y$ $=$ $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \cdot (x - x_{1}) + y_{1}$
↓
Setze $P_{1} (3 | 4)$ und $P_{2} (0 | 0)$ ein.
$=$ $\frac{0 - 4}{0 - 3} \cdot (x - 3) + 4$
↓
Löse die Klammer auf.
$=$ $\frac{4}{3} \cdot x + \frac{4}{3} \cdot (- 3) + 4$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{4}{3} \cdot x$
Die Normalform der Geradengleichung lautet: $y = \frac{4}{3} \cdot x$
Umwandlung in Koordinatenform:
$y$ $=$ $\frac{4}{3} \cdot x$ $- \frac{4}{3} \cdot x$
$y - \frac{4}{3} \cdot x$ $=$ $0$ $\cdot 3$
$3 y - 4 x$ $=$ $0$
Eine Koordinatenform für die Geradengleichung lautet:
$- 4 x + 3 y = 0$ oder $4 x - 3 y = 0$

$P_{1} (- 2 | 4)$ und $P_{2} (5 | 1)$ .

$P_{1} (0 | - 1)$ und $P_{2} (- 5 | - 2)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Lösung mit der Zwei-Punkte-Formel:
$y = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \cdot (x - x_{1}) + y_{1}$
$y$ $=$ $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \cdot (x - x_{1}) + y_{1}$
↓
Setze $P_{1} (0 | - 1)$ und $P_{2} (- 5 | - 2)$ ein.
$=$ $\frac{- 2 - (- 1)}{- 5 - 0} \cdot (x - 0) - 1$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{1}{5} \cdot x - 1$
Die Normalform der Geradengleichung lautet: $y = \frac{1}{5} \cdot x - 1$
Umwandlung in Koordinatenform:
$y$ $=$ $\frac{1}{5} \cdot x - 1$ $- \frac{1}{5} \cdot x$
$y - \frac{1}{5} \cdot x$ $=$ $- 1$ $\cdot 5$
$5 y - x$ $=$ $- 5$
Eine Koordinatenform für die Geradengleichung lautet:
$- x + 5 y = - 5$ oder $x - 5 y = 5$
$P_{1} (3 | 2)$ und $P_{2} (3 | 3)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Beide Punkte haben die gleiche x-Koordinate $x = 3$ , d.h. sie liegen auf der Geraden $x = 3$ .
Das ist auch die Koordinatenform der Geradengleichung.
$P_{1} (3 | 5)$ und $P_{2} (3 | - 1)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Beide Punkte haben die gleiche x-Koordinate $x = 3$ , d.h. sie liegen auf der Geraden $x = 3$ .
Das ist auch die Koordinatenform der Geradengleichung.

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$y$	$=$	$- \frac{3}{7} \cdot x + \frac{22}{7}$	$+ \frac{3}{7} \cdot x$
$y + \frac{3}{7} \cdot x$	$=$	$\frac{22}{7}$	$\cdot 7$
$7 y + 3 x$	$=$	$22$

$y$	$=$	$\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \cdot (x - x_{1}) + y_{1}$
	↓	Setze $P_{1} (3 \| 4)$ und $P_{2} (0 \| 0)$ ein.
	$=$	$\frac{0 - 4}{0 - 3} \cdot (x - 3) + 4$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\frac{4}{3} \cdot x + \frac{4}{3} \cdot (- 3) + 4$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{4}{3} \cdot x$

$y$	$=$	$\frac{4}{3} \cdot x$	$- \frac{4}{3} \cdot x$
$y - \frac{4}{3} \cdot x$	$=$	$0$	$\cdot 3$
$3 y - 4 x$	$=$	$0$

$y$	$=$	$\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \cdot (x - x_{1}) + y_{1}$
	↓	Setze $P_{1} (- 2 \| 4)$ und $P_{2} (5 \| 1)$ ein.
	$=$	$\frac{1 - 4}{5 - (- 2)} \cdot (x - (- 2)) + 4$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$- \frac{3}{7} \cdot (x + 2) + 4$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$- \frac{3}{7} \cdot x + (- \frac{3}{7}) \cdot 2 + 4$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$- \frac{3}{7} \cdot x + \frac{22}{7}$

$y$	$=$	$\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \cdot (x - x_{1}) + y_{1}$
	↓	Setze $P_{1} (0 \| - 1)$ und $P_{2} (- 5 \| - 2)$ ein.
	$=$	$\frac{- 2 - (- 1)}{- 5 - 0} \cdot (x - 0) - 1$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{1}{5} \cdot x - 1$

$y$	$=$	$\frac{1}{5} \cdot x - 1$	$- \frac{1}{5} \cdot x$
$y - \frac{1}{5} \cdot x$	$=$	$- 1$	$\cdot 5$
$5 y - x$	$=$	$- 5$