Aufgaben zur Normalen

Mit diesen Multiple Choice und Rechenaufgaben kannst du zum Thema Normalen üben und dein Wissen überprüfen.

1
Verständnisfragen
Beantworte die Fragen, nur eine Antwortmöglichkeit ist richtig.
Gegeben ist eine lineare Funktion $f (x) = - x + 2$ . Wähle den Funktionsterm einer möglichen Normalen aus.
$g (x) = x - 4$
$g (x) = - x + - 3$

Eine Gerade wird durch beschrieben durch den Funktionsterm $f (x) = - 4 x - 1$ . Wähle die richtige Behauptung aus.
Es gibt nur eine Steigung, die für die Normale in Frage kommt.
Es gibt verschiedene Steigungen, aus denen Normalen konstruiert werden können.

Eine beliebige Gerade wird an einer Stelle $x_{0}$ von einer Normalen geschnitten. An einer anderen Stelle $x_{1}$ schneidet eine weitere Normale die Gerade. Wähle die richtige Behauptung aus.
Die Normalen schneiden sich.
Die Normalen schneiden sich nicht.
2
Berechne die Normalensteigung $m_{n}$
Gegeben seien lineare Funktionen, bestimme die Steigung ihrer Normalen.
$f (x) = - x + 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale
$m_{n} = - \frac{1}{m_{t}} = - \frac{1}{(- 1)} = 1$
Verwende die Gleichung, die die Tangentensteigung $m_{t}$ und Normalensteigung $m_{n_{}}$ in Beziehung setzt.

$f (x) = 4 x - 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale
$m_{n} = - \frac{1}{m_{t}} = - \frac{1}{4}$
Verwende die Gleichung, die die Tangentensteigung $m_{t}$ und Normalensteigung $m_{n_{}}$ in Beziehung setzt.

$f (x) = - 6 x + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale
$m_{n} = - \frac{1}{m_{t}} = - \frac{1}{(- 6)} = \frac{1}{6}$
Verwende die Gleichung, die die Tangentensteigung $m_{t}$ und Normalensteigung $m_{n_{}}$ in Beziehung setzt.

$f (x) = - \frac{1}{2} x + 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale
$m_{n} = - \frac{1}{m_{t}} = - \frac{1}{(- \frac{1}{2})} = 2$
Verwende die Gleichung, die die Tangentensteigung $m_{t}$ und Normalensteigung $m_{n_{}}$ in Beziehung setzt.

$f (x) = - \frac{6}{5} x - 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale
$m_{n} = - \frac{1}{m_{t}} = - \frac{1}{(- \frac{6}{5})} = \frac{5}{6}$
Verwende die Gleichung, die die Tangentensteigung $m_{t}$ und Normalensteigung $m_{n_{}}$ in Beziehung setzt.

$f (x) = - \frac{9}{13} x + 11$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale
$m_{n} = - \frac{1}{m_{t}} = - \frac{1}{(- \frac{9}{13})} = \frac{13}{9}$
Verwende die Gleichung, die die Tangentensteigung $m_{t}$ und Normalensteigung $m_{n_{}}$ in Beziehung setzt.

Bestimmung der Normalengleichung

Anhand der Funktionen $f$ und den Stellen $x_{0}$ soll jeweils der Funktionsterm der Normalen bestimmt werden, die den Graphen in dieser Stelle senkrecht schneidet.

$f (x) = - 2 x^{3} - 2 x, x_{0} = - 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale

Allgemein	Beispiel
Berechne $f (x_{0})$	$f (- 2) = - 2 \cdot (- 2)^{3} - 2 \cdot (- 2) = 16 + 4 = 20$
Bestimme $f^{'} (x)$	$f^{'} (x) = - 6 x^{2} - 2$
Berechne $f^{'} (x_{0})$	$f^{'} (- 2) = - 6 \cdot (- 2)^{2} - 2 = - 24 - 2 = - 26$
Setze in die Normalenformel ein.	$g (x) = - \frac{1}{f^{'} (x_{0})} (x - x_{0}) + f (x_{0})$ $= \frac{1}{26} (x + 2) + 20$
Vereinfache den Funktionsterm.	$g (x) = \frac{1}{26} x + \frac{522}{26}$

$f (x) = - \frac{5}{4} x^{2} + 3, x_{0} = 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normale

Allgemein	Beispiel
Berechne $f (x_{0})$	$f (1) = - \frac{5}{4} \cdot 1^{2} + 3 = \frac{7}{4}$
Bestimme $f^{'} (x)$	$f^{'} (x) = - \frac{5}{2} x$
Berechne $f^{'} (x_{0})$	$f^{'} (1) = - \frac{5}{2} \cdot 1 = - \frac{5}{2}$
Setze in die Normalenformel ein.	$g (x) = - \frac{1}{f^{'} (x_{0})} (x - x_{0}) + f (x_{0})$ $= \frac{2}{5} (x - 1) + \frac{7}{4}$
Vereinfache den Funktionsterm.	$g (x) = \frac{2}{5} x + \frac{27}{20}$

$f (x) = - e^{4 x}, x_{0} = - 1$ .

Runde die Zwischenergebnisse nicht, lasse also Terme wie $e^{8}$ in der Rechnung bestehen.

Allgemein	Beispiel
Berechne $f (x_{0})$	$f (- 1) = - e^{- 4} = - \frac{1}{e^{4}}$
Bestimme $f^{'} (x)$	$f^{'} (x) = - 4 e^{4 x}$
Berechne $f^{'} (x_{0})$	$f^{'} (- 1) = - 4 e^{- 4} = - \frac{4}{e^{4}}$
Setze in die Normalenformel ein.	$g (x) = - \frac{1}{f^{'} (x_{0})} (x - x_{0}) + f (x_{0})$ $= \frac{e^{4}}{4} (x + 1) - \frac{1}{e^{4}}$
Vereinfache den Funktionsterm.	$g (x) = \frac{e^{4}}{4} x - \frac{1}{e^{4}} + \frac{e^{4}}{4}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

Aufgaben zur Normalen

Verständnisfragen

Berechne die Normalensteigung mn

Bestimmung der Normalengleichung

Berechne die Normalensteigung $m_{n}$