Aufgaben zu Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Hier kannst du dein Verständnis über das Thema Potenzen vertiefen und mit gemischten Aufgaben üben.

1
Ordne die Potenzen zu
Ziehe die Zahlen auf die richtige Potenz.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenz
Richtige Zuordnung:
$5^{0}$ $=$ $1$
$3^{3}$ $=$ $27$
$8^{2}$ $=$ $64$
$3^{- 1}$ $=$ $\frac{1}{3}$
$2^{- 2}$ $=$ $\frac{1}{4}$
$2^{- 3}$ $=$ $\frac{1}{8}$
$3^{- 3}$ $=$ $\frac{1}{27}$
Rechne die Potenzen aus:
Zum Beispiel ist $3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ .
Bei negativen Hochzahlen muss der Kehrwert gebildet werden: $2^{- 5} = \frac{1}{2^{5}} = \frac{1}{32}$
2
Berechne jeweils:
$5^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$5^{3}$
$= 5 \cdot 5 \cdot 5$
$= 125$
Die gesuchte Lösung ist $125$ .
Ein häufiger Fehler ist es, $5 \cdot 3$ zu rechnen. So ist die Potenz nicht definiert.

$- 5^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$- 5^{3}$
$= - (5 \cdot 5 \cdot 5)$
$= - 125$
Die gesuchte Lösung ist $- 125$ .
Ein häufiger Fehler ist es, $5 \cdot 3$ zu rechnen. So ist die Potenz nicht definiert. Achte darauf, das Minuszeichen mit in der Lösung anzugeben.

${(- 5)}^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
${(- 5)}^{3}$
$= (- 5) \cdot (- 5) \cdot (- 5)$
$= - 125$
Die gesuchte Lösung ist $- 125$ .
Schreibe die Potenz aus. Achte darauf, die Vorzeichen richtig zusammenzufassen.

$5^{- 3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$5^{- 3}$
$= {(\frac{1}{5})}^{3}$
$= \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$
$= \frac{1}{125}$
Die gesuchte Lösung ist $\frac{1}{125}$ .

$- 5^{- 3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$- 5^{- 3}$
$= - {(\frac{1}{5})}^{3}$
$= - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$
$= - \frac{1}{125}$
Die gesuchte Lösung ist $- \frac{1}{125}$ .
Wandle zuerst den negativen Exponenten um. Das Potenzgesetz $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$ gilt hierbei.

${(- 5)}^{- 3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
${(- 5)}^{- 3}$
$= {(- \frac{1}{5})}^{3}$
$= (- \frac{1}{5}) \cdot (- \frac{1}{5}) \cdot (- \frac{1}{5})$
$= - \frac{1}{125}$
Die gesuchte Lösung ist $- \frac{1}{125}$ .
Wandle zuerst den negativen Exponenten um. Das Potenzgesetz $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$ gilt hierbei.

${(\frac{1}{2})}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
${(\frac{1}{2})}^{2}$
$= \frac{1^{2}}{2^{2}}$
$= \frac{1}{4}$
Die gesuchte Lösung ist $\frac{1}{4}$ .
Die Potenz ${(\frac{1}{2})}^{2}$ bedeutet $(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})$ .
3
Umgang mit Potenzen
Klicke die richtige Lösung an!
${(\frac{5}{3})}^{- 1} = 0,6$
${(\frac{5}{3})}^{- 1} = - \frac{5}{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
${(\frac{5}{3})}^{- 1}$ $=$
↓
Für negative Exponenten gilt: $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$
${(\frac{5}{3})}^{- 1}$ $=$ $\frac{1}{(\frac{5}{3})}$
↓
Löse den Doppelbruch auf.
$=$ $\frac{3}{5}$
↓
Umrechnen in Dezimalzahlen.
$=$ $0,6$

Gib die Basis des Terms ${(x + 2)}^{4}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$(x + 2)^{4}$
Der Exponent ist $4$ . Die Basis ist demnach $(x + 2)$ .
$x + 2$

Was stimmt?
${(\frac{1}{3})}^{- 2} = 9$
${(\frac{1}{3})}^{- 2} = \frac{1}{9}$
${(\frac{1}{3})}^{- 2} = - \frac{1}{9}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
${(\frac{1}{3})}^{- 2}$ $=$
↓
Für negative Exponenten gilt: $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$
$=$ $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2}}$
↓
Berechne das Quadrat.
$=$ $\frac{1}{\frac{1}{9}}$
↓
Beseitige den Doppelbruch.
$=$ $9$
4
Ist das Ergebnis positiv oder negativ? Begründe deine Antwort.
${(- 18)}^{37} \cdot 2^{17} \cdot {(- 100)}^{18} \cdot {(- 3)}^{5}$
Das Ergebnis ist positiv.
Das Ergebnis ist negativ.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation
Wir bestimmen das Vorzeichen jedes einzelnen Faktors. Potenzen von positiven Zahlen sind immer positiv (+). Für negative Zahlen sind ungerade Potenzen negativ (-) und gerade Potenzen positiv (+):
$\underline{\underset{⏟}{(- 18)^{37}}} \cdot \underset{+}{\underset{⏟}{2^{17}}} \cdot \underset{+}{\underset{⏟}{(- 100)^{18}}} \cdot \underline{\underset{⏟}{(- 3)^{5}}} = +$
Das Ergebnis ist also positiv.
5
Berechne den Wert folgender Terme.
$2^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$2^{3}$ $=$ $2 \cdot 2 \cdot 2$
↓
Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$2 \cdot 2 \cdot 2$ $=$ $8$
Die Lösung ist $8$ .
Die Potenz $2^{3}$ ist ausgeschrieben $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

$(- 2)^{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
${(- 2)}^{4}$ $=$ $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$
↓
Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$ $=$ $16$
Die Lösung ist $16$ .
Die Potenz $(- 2)^{4}$ ist ausgeschrieben $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$ .

${(\frac{1}{2})}^{4}$
Einen Bruch kannst du mithilfe "/" in das Eingabefeld eingeben. Zum Beispiel schreibt man $\frac{1}{3}$ als "1/3".

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
${(\frac{1}{2})}^{4}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$
↓
Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ $=$ $\frac{1}{16}$
Die Lösung ist $\frac{1}{16}$ .
Die Potenz ${(\frac{1}{2})}^{4}$ ist ausgeschrieben $(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})$ .

$1^{1001}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$1^{1001}$ $=$ $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot . . . . . . . \cdot 1$
↓
Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot . . . . . . . \cdot 1$ $=$ $1$
Die Lösung ist $1$ .
Die Potenz $1^{1001}$ ist ausgeschrieben $\underset{1001 mal}{\underset{⏟}{1 \cdot . . . \cdot 1}}$ .

$(- 1)^{1001}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
${(- 1)}^{1001}$ $=$ $(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) . . . . \cdot (- 1)$
↓
Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) . . . . \cdot (- 1)$ $=$ $- 1$
Die Lösung ist $(- 1)$ . Bei geradem Exponent wäre die Lösung positiv.
Die Potenz $(- 1)^{1001}$ ist ausgeschrieben $\underset{1001 mal}{\underset{⏟}{(- 1) \cdot . . . \cdot (- 1)}}$ .
6
Ermittle, ob der Betrag des Terms größer oder kleiner als 1 ist.
${(2 - 1,5)}^{(- 2)}$
Der Betrag des Terms ist kleiner als 1.
Der Betrag des Terms ist größer als 1.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit ganzzahligen Exponenten
Wandle zunächst den negativen Exponenten in einen positiven Exponenten, indem Du den Kehrwert der Basis bildest:
${0,5}^{- 2} = \frac{1}{{0,5}^{2}}$
Schreibe den Nenner (0,5) als Bruch und berechnen den Wert des Nenners
$\frac{1}{{0,5}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$
Der Betrag des Terms ist also größer als 1. Das passiert, wenn der Nenner kleiner als 1 ist, wie in diesem Fall $\frac{1}{4} < 1.$
Berechne zunächst den Wert der Basis: $2 - 1,5 = 0,5$
und überlege, wie sich der Wert der Basis bei negativen Exponenten und wie bei positiven Exponenten auf das Ergebnis auswirkt.
7
Ermittle den Betrag des folgenden Terms. Ist der Betrag des Terms größer oder kleiner als 1?
${(\frac{3}{2})}^{- 3}$
Der Term ist kleiner als 1.
Der Term ist größer als 1.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit ganzzahligen Exponenten
${(\frac{3}{2})}^{- 3} = {(\frac{1}{\frac{3}{2}})}^{3} = {(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27} < 1$
Der Betrag der neuen Basis $\frac{2}{3}$ ist kleiner als 1. Diese Zahl wird mit sich selbst multipliziert, wodurch sie immer kleiner wird und damit auch kleiner als 1 bleibt.
Wandle den negativen Exponenten in einen positiven um, indem du den Kehrwert der Basis bildest.
${(\frac{3}{2})}^{- 3} = {(\frac{1}{\frac{3}{2}})}^{3}$
Überlege nun, wie der Wert der neuen Basis
$(\frac{1}{\frac{3}{2}}) = {\frac{2}{3}}^{}$
mit dem Betrag des Terms zusammenhängt.
8
Kopfrechnen mit Potenzen
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
VorsichtBesondere Exponenten
Eine Zahl "hoch 0" ist immer 1. Beispiel: $8^{0} = 1$ , $1^{0} = 1$
Eine Zahl "hoch 1" ist immer die Zahl selbst. Beispiel: $6^{1} = 6$ , $10^{1} = 10$
Nimm die Basis so oft mit sich selbst mal, wie der Exponent vorgibt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$5^{0}$	$=$	$1$
$3^{3}$	$=$	$27$
$8^{2}$	$=$	$64$
$3^{- 1}$	$=$	$\frac{1}{3}$
$2^{- 2}$	$=$	$\frac{1}{4}$
$2^{- 3}$	$=$	$\frac{1}{8}$
$3^{- 3}$	$=$	$\frac{1}{27}$

${(\frac{5}{3})}^{- 1}$	$=$
	↓	Für negative Exponenten gilt: $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$
${(\frac{5}{3})}^{- 1}$	$=$	$\frac{1}{(\frac{5}{3})}$
	↓	Löse den Doppelbruch auf.
	$=$	$\frac{3}{5}$
	↓	Umrechnen in Dezimalzahlen.
	$=$	$0,6$

${(\frac{1}{3})}^{- 2}$	$=$
	↓	Für negative Exponenten gilt: $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$
	$=$	$\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2}}$
	↓	Berechne das Quadrat.
	$=$	$\frac{1}{\frac{1}{9}}$
	↓	Beseitige den Doppelbruch.
	$=$	$9$

$2^{3}$	$=$	$2 \cdot 2 \cdot 2$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$2 \cdot 2 \cdot 2$	$=$	$8$

${(- 2)}^{4}$	$=$	$(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$	$=$	$16$

${(\frac{1}{2})}^{4}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$	$=$	$\frac{1}{16}$

$1^{1001}$	$=$	$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot . . . . . . . \cdot 1$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot . . . . . . . \cdot 1$	$=$	$1$

${(- 1)}^{1001}$	$=$	$(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) . . . . \cdot (- 1)$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) . . . . \cdot (- 1)$	$=$	$- 1$

Aufgaben zu Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Ordne die Potenzen zu

Kopfrechnen mit Potenzen