Wahlteil

Lösung zu a)

Zum Schaubild $C_1$ gehört die Funktion $f_1(x)=\frac{1}{2}\cdot (e^x+e^{-x})$.

Bei Achsensymmetrie zur $y$-Achse gilt: $f_1(-x)=f_1(x)$

$\Rightarrow f_1(-x)=\frac{1}{2}\cdot (e^{-x}+e^{-(-x}))=\frac{1}{2}\cdot (e^{-x}+e^x)=f_1(x)✓$

Antwort: $C_1$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Im Tiefpunkt von $C_1$ gilt: $f_1^{\prime }(x)=0$

An der Stelle $x=0$ liegt ein Extremum vor. Da im Aufgabentext von einem Tiefpunkt die Rede ist, muss die hinreichende Bedingung nicht überprüft werden.

Berechne $f(0)$: $f(0)=\frac{1}{2}\cdot (e^0+e^{-0})=\frac{1}{2}\cdot 2=1$

Antwort: Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $TP(0|1)$.

Lösung zu b)

Antwort: Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt $A_k={\displaystyle \frac{1}{2k^2}}\cdot (e^1-e^{-1})$.

Lösung zu c)

Lege das Koordinatensystem symmetrisch zur Hängebrücke, d.h. die $x$-Achse ist der Boden und die $y$-Achse geht durch die Brückenmitte.

Gegeben ist die Funktion $g(x)=a\cdot {\displaystyle \frac{e^{kx}+e^{-kx}}{2k}}$

Da die Hängebrücke für $x=0$ eine Höhe von $5\mathrm{m}$ hat, gilt $g(0)=5$

$\Rightarrow g(0)=a\cdot {\displaystyle \frac{e^{k\cdot 0}+e^{-k\cdot 0}}{2k}}=a\cdot {\displaystyle \frac{1+1}{2k}}=a\cdot {\displaystyle \frac{2}{2k}}={\displaystyle \frac{a}{k}}=5$

Andererseits gilt $g(10)=8$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{}{}}a\cdot {\displaystyle \frac{e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10}}{2k}}=8$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{a}{k}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10}}{2}}=8$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{a}{k}}\cdot (e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10})=16$

Mit ${\displaystyle \frac{a}{k}}=5$ folgt dann: $5\cdot (e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10})=16$ bzw. $e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10}={\displaystyle \frac{16}{5}}$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies dazu die Werte von p und q ab: $p=-{\displaystyle \frac{16}{5}}$ und $q=1$

Rücksubstitution ergibt: $\mathrm{0,351}=e^{10k}$$\Rightarrow k_1=\mathrm{0,1}\cdot \ln (\mathrm{0,351})\approx -\mathrm{0,105}$

Die Lösung $k_1=-\mathrm{0,105}$ entfällt, da $k$ laut Aufgabenstellung $>0$ sein soll.

Damit folgt aus der zweiten Lösung $\mathrm{2,849}=e^{10k}\Rightarrow k=\mathrm{0,1}\cdot \ln (\mathrm{2,849})\approx \mathrm{0,105}$

Mit der am Anfang ermittelten Beziehung ${\displaystyle \frac{a}{k}}=5\Rightarrow a=5\cdot k\Rightarrow a=5\cdot \mathrm{0,105}=\mathrm{0,525}$

Antwort: Die gesuchten Parameter lauten $k=\mathrm{0,105}$ und $a=\mathrm{0,525}$.

Lösung zu d)

Der Punkt $A$ hat die Koordinaten $A(10|8)$.

Die Funktion $g(x)$ lautet:

$g(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,525}}{2\cdot \mathrm{0,105}}}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x}+e^{-\mathrm{0,105}\cdot x})=\mathrm{2,5}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x}+e^{-\mathrm{0,105}\cdot x})$

Berechne die Ableitung, beachte dabei die Kettenregel:

$g^{\prime }(x)=\mathrm{2,5}\cdot \mathrm{0,105}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x}-e^{-\mathrm{0,105}\cdot x})$

$g^{\prime }(x)=\mathrm{0,2625}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x}-e^{-\mathrm{0,105}\cdot x})$

An der Stelle $x=10$ erhältst du für die Ableitung:

$g^{\prime }(10)=\mathrm{0,2625}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot 10}-e^{-\mathrm{0,105}\cdot 10})=\mathrm{0,2625}\cdot (e^{\mathrm{1,05}}-e^{-\mathrm{1,05}})\approx \mathrm{0,658}$

Um den Winkel zu berechnen, setze $\tan (\alpha )=g^{\prime }(10)=\mathrm{0,658}\Rightarrow \alpha \approx {\mathrm{33,3}}^{\circ }$

Antwort: Die Brücke trifft unter einem Winkel von etwa ${\mathrm{33,3}}^{\circ }$ im Punkt $A$ auf die waagrechte Plattform.

Lösung zu e)

Gesucht ist zunächst die Gleichung der Normalen vom Punkt $B(10|0)$ an den Graphen von $g(x)$.

Allgemein lautet die Normalengleichung im Punkt $P(x_0|g(x_0)$:

$n(x)=-{\displaystyle \frac{1}{g^{\prime }(x_0)}}\cdot (x-x_0)+g(x_0)$

Setze $g^{\prime }(x_0)$ in $n(x)$ ein:

$\Rightarrow n(x)=-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,2625}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x_0}-e^{-\mathrm{0,105}\cdot x_0})}}\cdot (x-x_0)+g(x_0)$

$\Rightarrow n(x)=-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,2625}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x_0}-e^{-\mathrm{0,105}\cdot x_0})}}\cdot (x-x_0)+\mathrm{2,5}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x_0}+e^{-\mathrm{0,105}\cdot x_0})$

Der Punkt $B(10|0)$ muss die Normalengleichung erfüllen. $B$ eingesetzt ergibt die folgende Gleichung:

$0=-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,2625}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x_0}-e^{-\mathrm{0,105}\cdot x_0})}}\cdot (10-x_0)+\mathrm{2,5}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x_0}+e^{-\mathrm{0,105}\cdot x_0})$

Umgeformt erhältst du:

$10-x_0=\mathrm{2,5}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x_0}+e^{-\mathrm{0,105}\cdot x_0})\cdot \mathrm{0,2625}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x_0}-e^{-\mathrm{0,105}\cdot x_0})$

Beachte die $3$. binomische Formel:

$10-x_0=\mathrm{0,65625}\cdot (e^{\mathrm{0,21}\cdot x_0}-e^{-\mathrm{0,21}\cdot x_0})$

Die Gleichung kannst du mit der SOLVE - Funktion deines Taschenrechners lösen.

Du erhältst: $x_0\approx \mathrm{7,18}$

Eingesetzt in $g(x)$ folgt: $g(\mathrm{7,18})=\mathrm{2,5}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot \mathrm{7,18}}+e^{-\mathrm{0,105}\cdot \mathrm{7,18}})\approx \mathrm{6,49}$

Antwort: Der Befestigungspunkt $P$ hat die Koordinaten $P(\mathrm{7,18}|\mathrm{6,49})$.

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Lösung

Antwort: Für das Kegelvolumen gilt die Formel $V_K={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi r^{2}h$

Lösung zu a)

Die Ebene $E_1$ hat die Gleichung $E_1:x_1+x_2=2\Rightarrow {\displaystyle \frac{x_1}{2}}+{\displaystyle \frac{x_2}{2}}=1$

Aus der Achsenabschnittsform können die Achsenschnittpunkte (Spurpunkte) abgelesen werden:

$S_{x_1}(2|0|0)$ (Punkt $A$ in der Zeichnung) und $S_{x_2}(0|2|0)$ (Punkt $P$ in der Zeichnung)

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse, d. h. die Ebene $E_1$ verläuft parallel zur $x_3$-Achse.

Nachweis, dass der Spiegel in der Ebene $E_1$ liegt

Prüfe, ob die vier Punkte des Spiegels in der Ebene $E_1$ liegen:

$A=S_{x_1}$, damit ist $A\in E_1$

$B(-2|4|0)\in E_1?\Rightarrow -2+4=2✓$

$C(-2|4|4)\in E_1?\Rightarrow -2+4=2✓$

$D(2|0|4)\in E_1?\Rightarrow 2+0=2✓$

Damit liegt der Spiegel in der Ebene $E_1$.

Die Ebene $E_3$ hat die Gleichung $E_3:x_1+3\cdot x_2=6\Rightarrow {\displaystyle \frac{x_1}{6}}+{\displaystyle \frac{x_2}{2}}=1$

Aus der Achsenabschnittsform können die Achsenschnittpunkte abgelesen werden:

$S_{x_1}(6|0|0)$ und $S_{x_2}(0|2|0)$ (Punkt $P$ in der Zeichnung)

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse, d. h. die Ebene $E_3$ verläuft parallel zur $x_3$-Achse.

Darstellung des Spiegels $ABCD$ in der Ebene $E_1$ (orange). Gedrehter Spiegel in der Ebene $E_3$ (grün). Drehachse [PQ].

Spiegeldrehung

Drehung des Spiegels um den Winkel $\alpha$, um die Achse $[PQ]$. Der Winkel $\alpha$ ist der Winkel zwischen den beiden Ebenen $E_1$ und $E_3$.

Aus den Koordinatendarstellungen der beiden Ebenen kannst du die Normalenvektoren ablesen:

${\overrightarrow{n}}_{E_1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$und ${\overrightarrow{n}}_{E_3}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$

Damit gilt für den Winkel: $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{{\overrightarrow{n}}_{E_1}\circ {\overrightarrow{n}}_{E_3}}{|{\overrightarrow{n}}_{E_1}|\cdot |{\overrightarrow{n}}_{E_3}|}}$

$\Rightarrow \cos \alpha ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)\right|}}={\displaystyle \frac{1+3+0}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\cdot \sqrt{1^2+3^2+0^2}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{20}}}$

$\alpha =\arccos \left({\displaystyle \frac{4}{\sqrt{20}}}\right)\approx {\mathrm{26,57}}^{\circ }$

Antwort: Der Spiegel wurde um etwa ${\mathrm{26,57}}^{\circ }$ gedreht.

Lage der Ebene $E_t$ in Abhängigkeit von $t$

$E_t:x_1+t\cdot x_2=2\cdot t$

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse, d. h. die Ebene $E_t$ verläuft parallel zur $x_3$-Achse.

Für $t=0$ ist $x_1=0$, d.h. die Ebene $E_0$ liegt in der $x_2{x}_3$-Ebene. Wenn der Betrag von $t$ größer wird, wird die $x_1$-Achse bei größeren $x_1$-Werten geschnitten $(S_{x_1}(2t|0|0))$, während der Schnittpunkt mit der $x_2$-Achse immer gleich bleibt $(S_{x_2}(0|2|0))$. Die Ebene (und damit auch der Spiegel) dreht sich weiter um die Drehachse $[PQ]$.

Liegt die Ebene (und damit auch der Spiegel) parallel zur $x_1{x}_3$-Ebene, dann lautet die Ebenengleichung $x_2=2$. Für kein $t$ kann aber die Ebene $E_t$ die Gleichung $x_2=2$ annehmen.

Lösung zu b)

$E_3:x_1+3\cdot x_2=6$

Der Punkt $A^{\prime }$ hat die Koordinaten $A^{\prime }(a|b|0)$.

Im Dreieck $S_{x_1}OP$ kann dann der Strahlensatz angewendet werden.

${\displaystyle \frac{b}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{40}-\sqrt{8}}{\sqrt{40}}}\Rightarrow b=2\cdot ((1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}})\approx \mathrm{1,11}$

Weiterhin gilt: ${\displaystyle \frac{a}{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{40}}}\Rightarrow a={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{5}}}\approx \mathrm{2,68}$

Der Punkt $A^{\prime }$ hat die Koordinaten $A^{\prime }(\mathrm{2,68}|\mathrm{1,11}|0)$.

Durch Symmetrieüberlegungen findest du die anderen Koordinaten des gedrehten Spiegels.

Die $x_1$-Koordinate vom Punkt $B^{\prime }$ ist die negative $x_1$-Koordinate des Punktes $A^{\prime }$.

Die $x_2$-Koordinate von $A^{\prime }$ ist $\mathrm{1,11}$. Aus der Zeichnung kannst du entnehmen, dass die $x_2$-Koordinate vom Punkt $B^{\prime }$ gleich $2+(2-\mathrm{1,11})=\mathrm{2,89}$ ist.

Der Punkt $B^{\prime }$ hat die Koordinaten $B^{\prime }(-\mathrm{2,68}|\mathrm{2,89}|0)$.

Der Punkt $C^{\prime }$ liegt $4$ Einheiten oberhalb des Punktes $B^{\prime }$. Somit hat $C^{\prime }$ die Koordinaten $C^{\prime }(-\mathrm{2,68}|\mathrm{2,89}|4)$.

Der Punkt $D^{\prime }$ liegt $4$ Einheiten oberhalb des Punktes $A^{\prime }$. Somit hat $D^{\prime }$ die Koordinaten $D^{\prime }(\mathrm{2,68}|\mathrm{1,11}|4)$.

Antwort: $A^{\prime }(\mathrm{2,68}|\mathrm{1,11}|0);B^{\prime }(-\mathrm{2,68}|\mathrm{2,89}|0);C^{\prime }(-\mathrm{2,68}|\mathrm{2,89}|4);D^{\prime }(\mathrm{2,68}|\mathrm{1,11}|4)$

Lösung zu c)

Geradengleichung für den Lichtstrahl

$g_{Licht}:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 1\end{array}\right)$

Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g_{Licht}$ mit der Ebene $E_t$:

Fallunterscheidung:

Fall 1: $t\ne -1$

Die letzte Gleichung kann nach r aufgelöst werden.

Fall 2: $t=-1$

Setzt du $t=-1$ in die Gleichung $r(3+3t)=6+6t$ ein, dann erhältst du eine wahre Aussage $0=0$, d.h. die Gerade liegt für $t=-1$ in der Ebene $E_t$.

Zur Berechnung des Schnittpunktes setze $r=2$ in $g_{Licht}$ ein:

${\overrightarrow{x}}_S=\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Der Schnittpunkt $S$ ist unabhängig von $t$, d.h. der Spiegel wird immer im gleichen Punkt $S$ getroffen. Der Punkt $S(0|2|3)$ liegt auf der Drehachse [PQ] des Spiegels.

Lösung zu a)

$A:P(X=6)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{6}\right)\cdot {\mathrm{0,6}}^6\cdot (1-\mathrm{0,6}{)}^{10-6}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{6}\right)\cdot {\mathrm{0,6}}^6\cdot {\mathrm{0,4}}^4\approx \mathrm{0,2508}$

$B:P(X\ge 6)=1-P(x\le 5)=1-F(10;\mathrm{0,6};5)=1-\mathrm{0,3669}=\mathrm{0,6331}$

$C:p={\mathrm{0,4}}^3\cdot {\mathrm{0,6}}^7\approx \mathrm{0,0018}$

Lösung zu b)

$P(X\ge 50)=1-P(x\le 49)\ge \mathrm{0,95}\Rightarrow F(100;p;49)\le \mathrm{0,05}$

Mithilfe des TR erhältst du $p\approx \mathrm{0,577}$.

Lösung zu c)

Intervallbestimmung

$p_{\ddot{U}bergewicht}=\mathrm{0,54}$; $n=500$

Die Zufallsvariable $X$ ist $B_{500;\mathrm{0,54}}$ verteilt.

Den Mittelwert berechnest du mit $\mu =n\cdot p=500\cdot \mathrm{0,54}=270$

Die Standardabweichung berechnest du mit $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{500\cdot \mathrm{0,54}\cdot \mathrm{0,46}}\approx \mathrm{11,14}$

Für ein Intervall mit $95$%-iger Wahrscheinlichkeit gilt: $[\mu -\mathrm{1,96}\sigma ;\mu +\mathrm{1,96}\sigma ]$

$\Rightarrow [270-\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{11,14};\mu +\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{11,14}]=[270-\mathrm{21,83};270+\mathrm{21,83}]=[\mathrm{248,17};\mathrm{291,83}]$

Antwort: Die Anzahl der Übergewichtigen in dem Dorf liegt mit $95$%-iger Wahrscheinlichkeit zwischen $248$ und $292$ Personen.

Hypothesentest

Gegeben sind $H_0:p\ge \mathrm{0,54}$, $n=90$ und das Signifikanzniveau $\alpha =10$%

Es handelt sich um einen linksseitigen Test:

$\alpha \text{-Fehler}:P(X\le k)\le \mathrm{0,1}$

$\Rightarrow F(90;\mathrm{0,54};k)\le \mathrm{0,1}$

Mit dem TR findest du:

$F(90;\mathrm{0,54};43)\approx \mathrm{0,1404}\ge \mathrm{0,1}\text{und}F(90;\mathrm{0,54};42)\approx \mathrm{0,0986}\le \mathrm{0,1}$

Also gilt $k=42$.

Antwort: Haben höchstens $42$ Mitglieder im Sportverein einen BMI$>25$, dann wird $H_0$ verworfen. Haben mehr als $42$ Mitglieder im Sportverein einen BMI$>25$, dann wird $H_0$ beibehalten.