Wahlteil

Lösung zu a)

Die Ebene $E_1$ hat die Gleichung $E_1:x_1+x_2=2\Rightarrow {\displaystyle \frac{x_1}{2}}+{\displaystyle \frac{x_2}{2}}=1$

Aus der Achsenabschnittsform können die Achsenschnittpunkte (Spurpunkte) abgelesen werden:

$S_{x_1}(2|0|0)$ (Punkt $A$ in der Zeichnung) und $S_{x_2}(0|2|0)$ (Punkt $P$ in der Zeichnung)

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse, d. h. die Ebene $E_1$ verläuft parallel zur $x_3$-Achse.

Nachweis, dass der Spiegel in der Ebene $E_1$ liegt

Prüfe, ob die vier Punkte des Spiegels in der Ebene $E_1$ liegen:

$A=S_{x_1}$, damit ist $A\in E_1$

$B(-2|4|0)\in E_1?\Rightarrow -2+4=2✓$

$C(-2|4|4)\in E_1?\Rightarrow -2+4=2✓$

$D(2|0|4)\in E_1?\Rightarrow 2+0=2✓$

Damit liegt der Spiegel in der Ebene $E_1$.

Die Ebene $E_3$ hat die Gleichung $E_3:x_1+3\cdot x_2=6\Rightarrow {\displaystyle \frac{x_1}{6}}+{\displaystyle \frac{x_2}{2}}=1$

Aus der Achsenabschnittsform können die Achsenschnittpunkte abgelesen werden:

$S_{x_1}(6|0|0)$ und $S_{x_2}(0|2|0)$ (Punkt $P$ in der Zeichnung)

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse, d. h. die Ebene $E_3$ verläuft parallel zur $x_3$-Achse.

Darstellung des Spiegels $ABCD$ in der Ebene $E_1$ (orange). Gedrehter Spiegel in der Ebene $E_3$ (grün). Drehachse [PQ].

Spiegeldrehung

Drehung des Spiegels um den Winkel $\alpha$, um die Achse $[PQ]$. Der Winkel $\alpha$ ist der Winkel zwischen den beiden Ebenen $E_1$ und $E_3$.

Aus den Koordinatendarstellungen der beiden Ebenen kannst du die Normalenvektoren ablesen:

${\overrightarrow{n}}_{E_1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$und ${\overrightarrow{n}}_{E_3}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$

Damit gilt für den Winkel: $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{{\overrightarrow{n}}_{E_1}\circ {\overrightarrow{n}}_{E_3}}{|{\overrightarrow{n}}_{E_1}|\cdot |{\overrightarrow{n}}_{E_3}|}}$

$\Rightarrow \cos \alpha ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)\right|}}={\displaystyle \frac{1+3+0}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\cdot \sqrt{1^2+3^2+0^2}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{20}}}$

$\alpha =\arccos \left({\displaystyle \frac{4}{\sqrt{20}}}\right)\approx {\mathrm{26,57}}^{\circ }$

Antwort: Der Spiegel wurde um etwa ${\mathrm{26,57}}^{\circ }$ gedreht.

Lage der Ebene $E_t$ in Abhängigkeit von $t$

$E_t:x_1+t\cdot x_2=2\cdot t$

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse, d. h. die Ebene $E_t$ verläuft parallel zur $x_3$-Achse.

Für $t=0$ ist $x_1=0$, d.h. die Ebene $E_0$ liegt in der $x_2{x}_3$-Ebene. Wenn der Betrag von $t$ größer wird, wird die $x_1$-Achse bei größeren $x_1$-Werten geschnitten $(S_{x_1}(2t|0|0))$, während der Schnittpunkt mit der $x_2$-Achse immer gleich bleibt $(S_{x_2}(0|2|0))$. Die Ebene (und damit auch der Spiegel) dreht sich weiter um die Drehachse $[PQ]$.

Liegt die Ebene (und damit auch der Spiegel) parallel zur $x_1{x}_3$-Ebene, dann lautet die Ebenengleichung $x_2=2$. Für kein $t$ kann aber die Ebene $E_t$ die Gleichung $x_2=2$ annehmen.

Lösung zu b)

$E_3:x_1+3\cdot x_2=6$

Der Punkt $A^{\prime }$ hat die Koordinaten $A^{\prime }(a|b|0)$.

Im Dreieck $S_{x_1}OP$ kann dann der Strahlensatz angewendet werden.

${\displaystyle \frac{b}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{40}-\sqrt{8}}{\sqrt{40}}}\Rightarrow b=2\cdot ((1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}})\approx \mathrm{1,11}$

Weiterhin gilt: ${\displaystyle \frac{a}{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{40}}}\Rightarrow a={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{5}}}\approx \mathrm{2,68}$

Der Punkt $A^{\prime }$ hat die Koordinaten $A^{\prime }(\mathrm{2,68}|\mathrm{1,11}|0)$.

Durch Symmetrieüberlegungen findest du die anderen Koordinaten des gedrehten Spiegels.

Die $x_1$-Koordinate vom Punkt $B^{\prime }$ ist die negative $x_1$-Koordinate des Punktes $A^{\prime }$.

Die $x_2$-Koordinate von $A^{\prime }$ ist $\mathrm{1,11}$. Aus der Zeichnung kannst du entnehmen, dass die $x_2$-Koordinate vom Punkt $B^{\prime }$ gleich $2+(2-\mathrm{1,11})=\mathrm{2,89}$ ist.

Der Punkt $B^{\prime }$ hat die Koordinaten $B^{\prime }(-\mathrm{2,68}|\mathrm{2,89}|0)$.

Der Punkt $C^{\prime }$ liegt $4$ Einheiten oberhalb des Punktes $B^{\prime }$. Somit hat $C^{\prime }$ die Koordinaten $C^{\prime }(-\mathrm{2,68}|\mathrm{2,89}|4)$.

Der Punkt $D^{\prime }$ liegt $4$ Einheiten oberhalb des Punktes $A^{\prime }$. Somit hat $D^{\prime }$ die Koordinaten $D^{\prime }(\mathrm{2,68}|\mathrm{1,11}|4)$.

Antwort: $A^{\prime }(\mathrm{2,68}|\mathrm{1,11}|0);B^{\prime }(-\mathrm{2,68}|\mathrm{2,89}|0);C^{\prime }(-\mathrm{2,68}|\mathrm{2,89}|4);D^{\prime }(\mathrm{2,68}|\mathrm{1,11}|4)$

Lösung zu c)

Geradengleichung für den Lichtstrahl

$g_{Licht}:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 1\end{array}\right)$

Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g_{Licht}$ mit der Ebene $E_t$:

Fallunterscheidung:

Fall 1: $t\ne -1$

Die letzte Gleichung kann nach r aufgelöst werden.

Fall 2: $t=-1$

Setzt du $t=-1$ in die Gleichung $r(3+3t)=6+6t$ ein, dann erhältst du eine wahre Aussage $0=0$, d.h. die Gerade liegt für $t=-1$ in der Ebene $E_t$.

Zur Berechnung des Schnittpunktes setze $r=2$ in $g_{Licht}$ ein:

${\overrightarrow{x}}_S=\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Der Schnittpunkt $S$ ist unabhängig von $t$, d.h. der Spiegel wird immer im gleichen Punkt $S$ getroffen. Der Punkt $S(0|2|3)$ liegt auf der Drehachse [PQ] des Spiegels.