Aufgaben zu linearen Abbildungen

Wir prüfen nun, ob die Vektoraddition erhalten bleibt. Also ob für Vektoren $a,b\in {ℝ}^3$ gilt

$f(a+b)=f(a)+f(b)$

Dies können wir direkt nachweisen:

$\begin{array}{ll}f(a+b)& =f(\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right))=f\left(\left(\begin{array}{c}{a}_x+b_x\\ a_y+b_y\\ a_z+b_z\end{array}\right)\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}{a}_x+b_x\\ a_y+b_y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\end{array}\right)\\ & =f\left(\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)\right)+f\left(\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)\right)=f(a)+f(b).\end{array}$

Nun überprüfen wir die Homogenität. Für alle $\lambda \in ℝ$ und $a\in {ℝ}^2$ soll gelten:

Es ist

Damit ist die Projektion $f$ eine lineare Abbildung.