h-Methode

Die $h$ -Methode ist eine andere Interpretation des Differentialquotienten. Anstatt $x$ gegen $x_{0}$ laufen zu lassen, lässt man diesmal die Differenz $h = x - x_{0}$ gegen $0$ laufen:

$f^{'} (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} .$

Damit lässt sich die Ableitung an der Stelle $x_{0}$ berechnen.

Veranschaulichung

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Beispiel

Gegeben ist $f (x) = x^{2}$ .

$f^{'} (x)$	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$
	↓	Zunächst setzt man $f$ in die Formel ein.
	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{{(x_{0} + h)}^{2} - x_{0}^{2}}{h}$
	↓	Löse die entstehende binomische Formel auf.
	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{x_{0}^{2} + 2 x_{0} h + h^{2} - x_{0}^{2}}{h}$
	↓	Klammere $h$ im Zähler aus.
	$=$	$\lim_{h \to 0} \frac{h (2 x_{0} + h)}{h}$
	↓	Kürze $h$ .
	$=$	$\lim_{h \to 0} (2 x_{0} + \underset{\to 0}{\underset{⏟}{h}})$
	↓	Lässt man jetzt $h$ gegen 0 laufen, so ergibt sich der Grenzwert.
	$=$	$2 x_{0}$

Also ist die Ableitung von $f (x) = x^{2}$ im Punkt $x_{0} \in ℝ$ : $f^{'} (x_{0}) = 2 x_{0}$

Video zur h-Methode

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Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zum Differenzen- und Differentialquotient

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