Aufgaben zum Rationalmachen von Nennern

1
Mache den Nenner rational. Vereinfache so weit wie möglich.
$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
Mit dem Nenner erweitern .
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ $=$ $\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
$=$ $\frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}$
↓
Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
$=$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{5}{2 \sqrt{3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
Mit $\sqrt{3}$ erweitern .
$\frac{5}{2 \sqrt{3}}$ $=$ $\frac{5 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$
$=$ $\frac{5}{2 \cdot 3} \cdot \sqrt{3}$
↓
Fasse zusammen
$=$ $\frac{5}{6} \sqrt{3}$

$\frac{25}{\sqrt{125}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
$\frac{25}{\sqrt{125}}$ $=$ $\frac{25}{\sqrt{25 \cdot 5}}$
↓
Teilweise radizieren.
$=$ $\frac{25}{5 \sqrt{5}}$
↓
Mit $\sqrt{5}$ erweitern.
$=$ $\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
$=$ $\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot 5}$
↓
Kürzen.
$=$ $\sqrt{5}$

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
Mit dem Nenner erweitern .
$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$ $=$ $\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot \sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \cdot \sqrt{x y}}$
$=$ $\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}}$
↓
Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
$=$ $\frac{{\sqrt{x}}^{2} \cdot \sqrt{y} - {\sqrt{y}}^{2} \cdot \sqrt{x}}{x y}$
$=$ $\frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{x y}$
↓
Bruch auseinanderziehen.
$=$ $\frac{x \sqrt{y}}{x y} - \frac{y \sqrt{x}}{x y}$
↓
Kürzen.
$=$ $\frac{\sqrt{y}}{y} - \frac{\sqrt{x}}{x}$
2
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Mache den Nenner rational:
$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
↓
Erweitere den Bruch mit $\sqrt{2}$ .
$=$ $\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
$=$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{125}}{\sqrt{5}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{125}}{\sqrt{5}}$
↓
Erweitere den Bruch mit $\sqrt{5}$ .
$=$ $\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{125}) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
↓
Multipliziere.
$=$ $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{625}}{5}$
↓
Ziehe die zweite Wurzel.
$=$ $\frac{\sqrt{10} - 25}{5}$
$=$ $\frac{\sqrt{10}}{5} - 5$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
	$=$	$\frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}$
	↓	Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
	$=$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{5}{2 \sqrt{3}}$	$=$	$\frac{5 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$
	$=$	$\frac{5}{2 \cdot 3} \cdot \sqrt{3}$
	↓	Fasse zusammen
	$=$	$\frac{5}{6} \sqrt{3}$

$\frac{25}{\sqrt{125}}$	$=$	$\frac{25}{\sqrt{25 \cdot 5}}$
	↓	Teilweise radizieren.
	$=$	$\frac{25}{5 \sqrt{5}}$
	↓	Mit $\sqrt{5}$ erweitern.
	$=$	$\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
	$=$	$\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot 5}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\sqrt{5}$

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$	$=$	$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot \sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \cdot \sqrt{x y}}$
	$=$	$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}}$
	↓	Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
	$=$	$\frac{{\sqrt{x}}^{2} \cdot \sqrt{y} - {\sqrt{y}}^{2} \cdot \sqrt{x}}{x y}$
	$=$	$\frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{x y}$
	↓	Bruch auseinanderziehen.
	$=$	$\frac{x \sqrt{y}}{x y} - \frac{y \sqrt{x}}{x y}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\frac{\sqrt{y}}{y} - \frac{\sqrt{x}}{x}$

	$\frac{1}{\sqrt{2}}$
	↓ Erweitere den Bruch mit $\sqrt{2}$ .
$=$	$\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
$=$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$

	$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{125}}{\sqrt{5}}$
	↓ Erweitere den Bruch mit $\sqrt{5}$ .
$=$	$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{125}) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
	↓ Multipliziere.
$=$	$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{625}}{5}$
	↓ Ziehe die zweite Wurzel.
$=$	$\frac{\sqrt{10} - 25}{5}$
$=$	$\frac{\sqrt{10}}{5} - 5$