Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Lösung Teilaufgabe a)

1. Bilde zwei linear unabhängige Richtungsvektoren der Ebene. Z.B. die Differenzvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$.

2. Erstelle durch das Kreuzprodukt $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ zur Ebene.

3. Setze das Skalarprodukt $\overrightarrow{AX}\circ \overrightarrow{n}$ eines Differenzvektors $\overrightarrow{AX}$ mit $\overrightarrow{n}$ gleich Null. ($A$ ist ein beliebiger Aufpunkt und $X$ ein variabler Punkt von $E$.)

Durchführung

1.Zwei linear unabhängige Richtungsvektoren

Die Punkte $A(1|1|1)$, $B(0|2|2)$, $C(-1|2|0)$ ergeben:

2.Kreuzprodukt $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ für einen Normalenvektor

$\begin{array}{r}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -1\end{array}\right)\end{array}$

$=\left(\begin{array}{ccccccc}1& \cdot & (-1)& -& 1& \cdot & 1\\ 1& \cdot & (-2)& -& (-1)& \cdot & (-1)\\ (-1)& \cdot & 1& -& 1& \cdot & (-2)\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 1\end{array}\right)=(-1)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ ist also ein Normalenvektor der Ebene $E$.

Anmerkung:

Das Vorziehen des Faktors $(-1)$ hat lediglich den "Schönheitsaspekt", dass der ab jetzt verwendete Normalenvektor nur ein Minuszeichen besitzt. Jedes Vielfache eines Normalenvektors steht auch auf der Ebene senkrecht und ist somit ebenfalls ein Normalenvektor.

3.Aufstellen der Ebenengleichung

Die Aufgabenstellung lässt dir die Wahl, ob du die gesuchte Normalenform der Ebenengleichung in Vektorform oder in Koordinatendarstellung angeben willst.

$\begin{array}{rcl}E:2\cdot (x_1-1)+3\cdot (x_2-1)+(-1)\cdot (x_3-1)& =& 0\\ E:2x_1-2+3x_2-3-x_3+1& =& 0|\text{zusammenfassen}\\ E:2x_1+3x_2-x_3-4& =& 0\end{array}$

b) Ansatz für $E$ in Koordinatendarstellung

Mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ und einem beliebigen Punkt der Ebene, z.B. $B(0|2|2)$ (es muss nicht wieder der Punkt $A$ sein) kannst du $E$ so ansetzen:

$\begin{array}{rcl}2\cdot 0+3\cdot 2-2+c& =& 0\\ 6-2+c& =& 0& |-4\\ c& =& -4\end{array}$

Also:

$E:2x_1+3x_2-x_3-4=0$

Lösung Teilaufgabe b)

Ein beliebiger Punkt $S$ der $x_2$-Achse hat die Koordinaten $S(0|s_2|0)$.

Setze $S$ in die Normalengleichung von $E$ ein und berechne $s_2$.

$$\begin{array}{rccl}2\cdot 0+3\cdot s_2-0-4& =& 0& |+4\\ 3\cdot s_2& =& 4& |:3\\ s_2& =& {\displaystyle \frac{4}{3}}& \end{array}$$

Die Ebene schneidet die $x_2$-Achse im Punkt $${\displaystyle S(0|\frac{4}{3}|0)}$$.

Teilaufgabe a)

Aus der Aufgabenstellung sind 3 Arbeitsaufträge herauszulesen:

• Stelle die Geradengleichung durch $A$ und $B$ auf

• Zeige, dass $F$ sowohl auf Gerade $g$ als auch auf Gerade $h$ liegt

• Weise nach, dass die beiden Geraden aufeinander senkrecht stehen

$h$ ist Ursprungsgerade mit der Gleichung $h:\overrightarrow{x}=\mu \left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 6\end{array}\right)$

Wer sich streng an das Aufstellen einer Geradengleichung bei vorgegebenen 2 Punkten hält, der setzt an:

$h:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\mu \cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{c}3-0\\ -6-0\\ 6-0\end{array}\right)=\mu \left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 6\end{array}\right)$

Es ist notwendig, dass die zweite Gerade eine andere Parameterbezeichnung - hier ist es $\mu$ - erhält, sonst gibt es beim Aufstellen von Gleichungen und Suchen von Schnittpunkten große Probleme, weil man Terme zusammenfasst, die dafür nie vorgesehen waren.

Aber hier geht es etwas einfacher, denn der Schnittpunkt $F$ ist schon bekannt und man muss nur zeigen, dass sich zu $F$ bei der Geraden $g$ eindeutig (also widerspruchsfrei) ein $\lambda$ finden lässt und bei der Geraden $h$ entsprechend eindeutig ein $\mu$ !

$F$ ist also tatsächlich Schnittpunkt von $g$ und $h$: $F=g\cap h$

Denn mit dem Ansatz

ergeben sich 3 Gleichungen:

Gleichungen I und III werden jeweils - widerspruchsfrei - durch $\lambda =-1$ gelöst. Gleichung II ist allgemeingültig und somit immer erfüllt.

Entsprechend findet man, dass$F(2|-4|4)\in h$ für $\mu =\frac{2}{3}$.

Daher gilt insgesamt: $F=g\cap h$ .

$g$ steht senkrecht auf $h$: $g⟂h$

Zwei Geraden schneiden sich senkrecht, wenn sie außer der Existenz des Schnittpunkts auch noch zueinander senkrecht stehende Richtungsvektoren haben. Dies weist man nach, indem man zeigt, dass das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren Null ist:

Es folgt die Behauptung der Teilaufgabe a. Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich also senkrecht im Punkt $F$.

Teilaufgabe b)

Zur Lösung der Aufgabe ist es am besten, wenn man eine kleine Skizze anfertigt:

Dann erkennt man sofort: $[CF]$ ist im Dreieck $ABC$ die Höhe zur Grundlinie $[AB]$, da die Strecke $[CF]$ immer senkrecht auf der Grundlinie $[AB]$ steht, weil die Gerade $g$ senkrecht auf der Geraden $h$ steht.