Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

Die Punkte $A (1 | 1 | 1)$ , $B (0 | 2 | 2)$ und $C (- 1 | 2 | 0)$ liegen in der Ebene $E$ .

(4 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Normalenform.

(1 BE)

Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $E$ mit der $x_{2}$ -Achse an.

Lösung Teilaufgabe a)

Vorüberlegungen

Die gesuchte Normalenform der Ebene $E$ kannst du in Vektor- oder Koordinatendarstellung angeben.

So erhältst du sie:

Bilde zwei linear unabhängige Richtungsvektoren der Ebene. Z.B. die Differenzvektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ .
Erstelle durch das Kreuzprodukt $\vec{A B} \times \vec{A C}$ einen Normalenvektor $\vec{n}$ zur Ebene.
Setze das Skalarprodukt $\vec{A X} \circ \vec{n}$ eines Differenzvektors $\vec{A X}$ mit $\vec{n}$ gleich Null. ( $A$ ist ein beliebiger Aufpunkt und $X$ ein variabler Punkt von $E$ .)

Durchführung

1.Zwei linear unabhängige Richtungsvektoren

Die Punkte $A (1 | 1 | 1)$ , $B (0 | 2 | 2)$ , $C (- 1 | 2 | 0)$ ergeben:

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})

\vec{A C} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

2.Kreuzprodukt $\vec{A B} \times \vec{A C}$ für einen Normalenvektor

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} \times \vec{A C} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) \end{array}$

$= (\begin{array}{ccccccc} 1 & \cdot & (- 1) & - & 1 & \cdot & 1 \\ 1 & \cdot & (- 2) & - & (- 1) & \cdot & (- 1) \\ (- 1) & \cdot & 1 & - & 1 & \cdot & (- 2) \end{array})$

$= (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) = (- 1) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$

Der Vektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$ ist also ein Normalenvektor der Ebene $E$ .

Anmerkung:

Das Vorziehen des Faktors $(- 1)$ hat lediglich den "Schönheitsaspekt", dass der ab jetzt verwendete Normalenvektor nur ein Minuszeichen besitzt. Jedes Vielfache eines Normalenvektors steht auch auf der Ebene senkrecht und ist somit ebenfalls ein Normalenvektor.

3.Aufstellen der Ebenengleichung

Die Aufgabenstellung lässt dir die Wahl, ob du die gesuchte Normalenform der Ebenengleichung in Vektorform oder in Koordinatendarstellung angeben willst.

a) Vektorform mit Aufpunkt $A (1 | 1 | 1)$

Setze $\vec{n} \circ \vec{A X}$ gleich Null.

$E : \vec{n} \circ (\vec{X} - \vec{A}) = 0$

Setze für den Punkt $A (1 | 1 | 1)$ seinen Ortsvektor und die Vektorkoordinaten von $\vec{n}$ ein.

$E : (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})] = 0$

Dies ist die gesuchte Ebene. Du kannst sie durch Ausmultiplizieren des Skalarproduktes auch noch in die Koordinatendarstellung bringen.

$\begin{array}{rcll} E : 2 \cdot (x_{1} - 1) + 3 \cdot (x_{2} - 1) + (- 1) \cdot (x_{3} - 1) & = & 0 \\ E : 2 x_{1} - 2 + 3 x_{2} - 3 - x_{3} + 1 & = & 0 | zusammenfassen \\ E : 2 x_{1} + 3 x_{2} - x_{3} - 4 & = & 0 \end{array}$

b) Ansatz für $E$ in Koordinatendarstellung

Mit dem Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array})$ und einem beliebigen Punkt der Ebene, z.B. $B (0 | 2 | 2)$ (es muss nicht wieder der Punkt $A$ sein) kannst du $E$ so ansetzen:

$E : 2 x_{1} + 3 x_{2} - x_{3} + c = 0$

Setze den Punkt $B$ ein und löse nach $c$ auf.

$\begin{array}{rcll} 2 \cdot 0 + 3 \cdot 2 - 2 + c & = & 0 \\ 6 - 2 + c & = & 0 & | - 4 \\ c & = & - 4 \end{array}$

Also:

$E : 2 x_{1} + 3 x_{2} - x_{3} - 4 = 0$

Lösung Teilaufgabe b)

Ein beliebiger Punkt $S$ der $x_{2}$ -Achse hat die Koordinaten $S (0 | s_{2} | 0)$ .

Setze $S$ in die Normalengleichung von $E$ ein und berechne $s_{2}$ .

$\begin{array}{rccl} 2 \cdot 0 + 3 \cdot s_{2} - 0 - 4 & = & 0 & | + 4 \\ 3 \cdot s_{2} & = & 4 & | : 3 \\ s_{2} & = & \frac{4}{3} \end{array}$

Die Ebene schneidet die $x_{2}$ -Achse im Punkt $S (0 | \frac{4}{3} | 0)$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org