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Aufgaben zur Kinematik

Bei Geschwindigkeiten, wie sie auf Bundesstraßen üblich sind, kann ein Kraftfahrzeug mit maximal $2 \frac{m}{s^{2}}$ beschleunigen.

Berechne die Zeit, die ein Kraftfahrzeug benötigen würde, um von $v_{1} = 72 \frac{km}{h}$ auf $v_{2} = 99 \frac{km}{h}$ zu beschleunigen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beschleunigung

In dieser Aufgabe sind die Beschleunigung $a$ und die Geschwindigkeiten $v_{0}$ und $v_{1}$ vorgegeben. Ziel dieser Aufgabe ist die Berechnung der benötigten Zeit $Δ t$ für den Beschleunigungsvorgang von $v_{0}$ auf $v_{1}$ .

Umrechnen der Einheiten

Man kann feststellen, dass die angegebenen Werte unterschiedliche Einheiten haben. Die Beschleunigung ist in $\frac{m}{s^{2}}$ angegeben, während die Geschwindigkeiten in $\frac{km}{h}$ angegeben sind.

Aus diesem Grund solltest du zunächst die Einheit der Geschwindigkeiten in $\frac{m}{s^{2}}$ umrechnen. Dafür musst du die Zahlenwerte der Geschwindigkeit durch den Faktor $3,6$ teilen. Damit ergibt sich für die beiden Geschwindigkeiten:

v_{1} = 99 \frac{km}{h} = \frac{99}{3,6} \frac{m}{s} = 27,5 \frac{m}{s}

und

v_{0} = 72 \frac{km}{h} = \frac{72}{3,6} \frac{m}{s} = 20 \frac{m}{s} .

Umformungen

Bei dieser Aufgabe hast du die Beschleunigung bereits in der Angabe vorgegeben. Du musst dieses Mal die benötigte Zeit berechnen. Dafür musst du die Formel für die Beschleunigung

a = \frac{Δ v}{Δ t}

umformen. Dazu multiplizierst du die beiden Seiten im ersten Schritt mit dem Faktor $Δ t$ :

a \cdot Δ t = Δ v .

Um die gesuchte Zeit $Δ t$ zu erhalten, dividierst du beide Seiten der Gleichung mit dem Faktor $a$ . Das kannst du problemlos machen, da $a \neq 0$ ist. Du erhältst:

Δ t = \frac{Δ v}{a} .

Einsetzen der Zahlenwerte

Jetzt können die Werte eingesetzt werden. Die Geschwindigkeitsdifferenz $Δ v$ berechnest du durch

\begin{array}{rcl} Δ v & = & v_{1} - v_{0} = 27,5 \frac{m}{s} - 20 \frac{m}{s} \\ = & 7,5 \frac{m}{s} . \end{array}

Aus der Aufgabenstellung kannst du herauslesen, dass $a = 2 \frac{m}{s^{2}}$ gilt. Also ergibt sich für die Zeitdifferenz $Δ t$ :

Δ t = \frac{Δ v}{a} = \frac{7,5 \frac{m}{s}}{2 \frac{m}{s^{2}}} = 3,75 s .

Das Kraftfahrzeug braucht somit für die Beschleunigung $Δ t = 3,75 s$ .

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