Aufgaben zur Diskussion von ln-Funktionen

Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und die 1. Ableitung der folgenden Funktion:

$f (x) = \frac{1 + (\ln x)^{2}}{1 - (\ln x)^{2}}$

$D_{f} = D_{\max}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: ln-Funktion

Bestimme den Definitionsbereich von f:

$f (x) = \frac{1 + (\ln x)^{2}}{1 - (\ln x)^{2}}$

Um die Definitionslücken zu finden, benötigst du die Nullstellen des Nenners. Setze den Nenner des Bruchs gleich 0.

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

$x > 0$

$\Rightarrow$ $D_{f} =] 0; \infty [\ {\frac{1}{e}; e}$

Bestimme die Nullstellen von f:

$f (x) = \frac{1 + (lnx)^{2}}{1 - (lnx)^{2}}$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

$1 + (lnx)^{2} = 0$

Durch das Quadrieren kann der zweite Summand nicht negativ werden.

$\Rightarrow$ Die Funktion hat keine Nullstellen.

Ableitung bilden

Bilde die Ableitung:

$f (x) = \frac{1 + (lnx)^{2}}{1 - (lnx)^{2}}$

Berechne die Ableitungen von Zähler (u) und Nenner (v) des Bruchs (jeweils unter Verwendung der Kettenregel).

$u ‘ = 2 \cdot lnx \cdot \frac{1}{x}, v ‘ = - 2 \cdot lnx \cdot \frac{1}{x}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{2 \cdot \ln x \cdot \frac{1}{x} \cdot (1 - (\ln x)^{2}) - (- 2) \cdot \ln x \cdot \frac{1}{x} \cdot (1 + (\ln x)^{2})}{(1 - (\ln x)^{2})^{2}}$
	↓	$\frac{1}{x}$ ausklammern und verbleibende Elemente ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{\frac{1}{x} \cdot (2 \cdot \ln x - 2 \cdot {(\ln x)}^{3} + 2 \cdot \ln x + 2 \cdot {(\ln x)}^{3})}{{(1 - {(\ln x)}^{2})}^{2}}$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\frac{4 \cdot \ln x}{x \cdot {(1 - {(\ln x)}^{2})}^{2}}$

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