Aufgaben zur Diskussion von ln-Funktionen

Nullstellen des Nenner

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2-\ln (x^2-1)}}$

Der Nenner ist dann 0, wenn $\ln (x^2-1)=2$ ist.

$\Rightarrow x_1=-\sqrt{e^2+1},x_2=\sqrt{e^2+1}$

Definitionsbereich des Logarithmus

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2-\ln (x^2-1)}}$

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.

$\Rightarrow x>1\text{oder}x<-1$

$\Rightarrow$    $D_f=]-\infty ;-1[\cup$ $]1;+\infty [\backslash \{-\sqrt{e^2+1},\sqrt{e^2+1}\}$

Nullstellenbestimmung

$\Rightarrow$   Da im Zähler der Funktion kein Element mit x vorkommt, hat die Funktion keine Nullstellen.

Ableitungen

Bilde die 1. Ableitung

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2-\ln (x^2-1)}}$

Mit Hilfe der Potenzgesetze umwandeln.

$f(x)={(2-\ln (x^2-1))}^{-1}$

Leite jetzt mit Hilfe der Kettenregel ab:

$f‘\left(x\right)=-{(2-\ln (x^2-1))}^{-2}\cdot (-\frac{1}{x^2-1}\cdot 2x)={\displaystyle \frac{2x}{(x^2-1)\cdot {(2-\ln (x^2-1))}^2}}$