Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Bei einem radioaktiven Stoff zerfällt jedes Jahr 10% der noch vorhandenen Masse. Berechne, wie viel nach 10 Jahren noch vorhanden ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum

Wenn jedes Jahr 10% zerfallen, dann sind im Umkehrschluss nach jedem Jahr noch 90% vom Vorjahr vorhanden. Wir bezeichnen die Masse des Stoffes im Jahr 0 mit $m_{0}$ , im Jahr 1 mit $m_{1}$ , im Jahr 2 mit $m_{2}$ …, im Jahr 10 mit $m_{10}$ .

Jahr	noch vorhandene Masse
0	$m_{0}$
1	$m_{1} = 0,9 \cdot m_{0}$
2	$m_{2} = 0,9 \cdot m_{1} = 0,9 \cdot 0,9 \cdot m_{0} = (0,9)^{2} \cdot m_{0}$
3	$m_{3} = 0,9 \cdot m_{2} = 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot m_{0} = (0,9)^{3} \cdot m_{0}$
$⋮$	$⋮$
9	$m_{9} = 0,9 \cdot m_{8} = 0,9 \cdot ({0,9}^{8} \cdot m_{0}) = {0,9}^{9} m_{0}$
10	$m_{10} = 0,9 \cdot m_{9} = 0,9 \cdot ({0,9}^{9} \cdot m_{0}) = {0,9}^{10} \cdot m_{0}$

$m_{10} = 0,9 \cdot m_{9} = {0,9}^{10} \cdot m_{0}$ $\approx 0,3487 \cdot m_{0}$

Nach 10 Jahren sind also etwa 34,87% des ursprünglichen Materials vorhanden.

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