Aufgaben zu Zahlensystemen

Die Binärzahlen sind Summen von Zweierpotenzen, also Summen von Zahlen der Form $2^n$.

Die jeweilige Stelle der Zahl von rechts nach links gelesen und beginnend bei Null steht dabei für den Exponenten.

Dabei tauchen nur die Zweierpotenzen in der Summe auf, die in der Binärdarstellung auf 1 stehen.

Hier:

Die hinterste Ziffer ist mit einer 1 besetzt, liefert also $1\cdot 2^{1-1}=1\cdot 2^0$. Die vorletzte Ziffer ist mit 0 besetzt, liefert also $0\cdot 2^{2-1}=0$. Die dritte Ziffer von hinten ist eine 1, liefert also $1\cdot 2^{3-1}=1\cdot 2^2$. Die vorderste Ziffer (4. von hinten) ist ebenfalls eine 1, also $1\cdot 2^{4-1}=1\cdot 2^3$.

$(1101{)}_2=2^3+2^2+2^1=8+4+1=13$

Die Binärzahlen sind Summen von Zweierpotenzen, also Summen von Zahlen der Form $2^n$.

Die jeweilige Stelle der Zahl von rechts nach links gelesen und beginnend bei Null steht dabei für den Exponenten.

Aufsummiert wird die jeweilige Stelle nur, wenn an der Position eine 1 steht.

Hier:

(1010101)${}_2$: Die 1. Ziffer von rechts ist mit einer 1 besetzt, liefert also $1\cdot 2^0$=1. (1010101)${}_2$: Die 2. Ziffer von rechts ist mit 0 besetzt, liefert also wegen $0\cdot 2^1$ keinen Beitrag.

(1010101)${}_2$: Die 3. Ziffer von rechts ist mit 1 besetzt, liefert also $1\cdot 2^2=4$.

(1010101)${}_2$: Die 4. Ziffer von rechts ist mit 0 besetzt, liefert also wegen $0\cdot 2^3$ keinen Beitrag.

(1010101)${}_2$: Die 5. Ziffer von rechts ist mit 1 besetzt, liefert also $1\cdot 2^4=16$.

(1010101)${}_2$: Die 6. Ziffer von rechts ist mit 0 besetzt, liefert also wegen $0\cdot 2^1$ keinen Beitrag.

(1010101)${}_2$: Die 7. Ziffer von rechts ist eine 1, also $1\cdot 2^6=64$.

Insgesamt:$(1010101{)}_2=2^6+2^4+2^2+2^0=64+16+4+1=85$

Zerlegen in ZweierPotenzen

Unser Ziel ist es, die Zahl 100 als Zweierpotenz darzustellen. Zunächst suchst du die größte Zweierpotenz, die kleiner als 100 ist.$2^0=1$, $2^1=2$, $2^2=4$ $2^3=8$,$2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128>100$.

Teile durch die größte Zweierpotenz, die noch möglich ist, also $2^6$. Dies ist (ohne führende Nullen betrachtet) die vorderste Ziffer deiner Binärzahl und immer 1:

$100:2^6=100:64=1$ Rest: $36$.

Teile nun den Rest durch die nächstmögliche, größte Zweierpotenz. Dies ist die nächste Ziffer, die in der Binärzahl eine 1 ist:

$36:2^5=36:32=1$ Rest: $4$

Wiederhole erneut für diesen Rest:

$4:2^2=4:4=1$ Rest: $0$

$\Rightarrow 100=2^6+2^5+2^2$

Umwandlung ins Binärsystem

Besetze bei der Binärzahl also die 3., 6. und 7. Stelle der Binärzahl mit einer 1, den Rest mit Nullen:

$(100{)}_{10}=(1100100{)}_2$

Zerlegen in Zweierpotenzen

Unser Ziel ist es, die Zahl 228 als Zweierpotenz darzustellen. Zunächst suchst du die größte Zweierpotenz, die kleiner als 100 ist.$2^0=1$, $2^1=2$, $2^2=4$ $2^3=8$,$2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$,$2^8=256>228$.

Teile durch die größte Zweierpotenz, die noch möglich ist, also $2^7$. Dies ist (ohne führende Nullen betrachtet) die vorderste Ziffer deiner Binärzahl und immer 1:

$228:2^7=228:128=1$ Rest: $100$.

Teile nun den Rest durch die nächstmögliche, größte Zweierpotenz. Dies ist die nächste Ziffer, die in der Binärzahl eine 1 ist:

$100:2^6=1$ Rest: $36$

Wiederhole erneut für den Rest

$36:2^5=36:32=1$ Rest: $4$

Wiederhole erneut für diesen Rest:

$4:2^2=4:4=1$ Rest: $0$

$\Rightarrow 228=2^7+2^6+2^5+2^2$

Umwandlung ins Binärsystem

Besetze bei der Binärzahl also die 3., 6.,7. und 8. Stelle der Binärzahl mit einer 1, den Rest mit Nullen:

$(228{)}_{10}=(11100100{)}_2$