Aufgaben zur Lage von Punkten

Die folgenden Punkte $A$ , $B$ und $C$ sind gegeben. Überprüfe, ob sie ein Dreieck bilden.

$A (3 | - 1 | 5)$ , $B (- 2 | 2 | - 3)$ und $C (3 | 4 | 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die Formel für die Geradengleichung lautet:
$\vec{X} = \vec{A} + λ \cdot \vec{A B}$
Der Aufpunkt ist: $\vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$
Der Richtungsvektor ist:
$\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ - 8 \end{array})$
$C (3 | 4 | 1)$ wird in die Geradengleichung eingesetzt:
$\vec{C} = \vec{A} + λ \cdot \vec{A B} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ - 8 \end{array})$
Zeilenweise erhalten wir daraus drei Gleichungen:
$3 = 3 + λ \cdot (- 5) \Rightarrow λ = 0$
$4 = - 1 + λ \cdot 3 \Rightarrow λ = \frac{5}{3}$
$1 = 5 + λ \cdot (- 8) \Rightarrow λ = \frac{1}{2}$
Aus den drei Gleichungen ergeben sich drei unterschiedliche Werte für $λ$ . Der Punkt $C$ liegt also nicht auf der Geraden $g_{A B}$ .
Daraus folgt, dass es sich hierbei um ein Dreieck handelt.
Alternative Rechnung
Die drei Punkte bilden nur dann kein Dreieck, wenn sie auf einer Geraden liegen. Dazu müssten die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ Vielfache voneinander sein.
$\vec{A C} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ - 4 \end{array})$
Du erkennst direkt, dass dieser Vektor kein Vielfaches des oben berechneten Vektors $\vec{A B}$ ist, da die erste Komponente von $\vec{A C}$ Null ist und daher $\vec{A C}$ das Nullfache von $\vec{A B}$ sein müsste, was offensichtlich nicht der Fall ist.
Die drei Punkte $A, B$ und $C$ bilden dann ein Dreieck, wenn der Punkt $C$ nicht auf der Geraden durch die beiden Punkte $A$ und $B$ liegt. Erstelle die Geradengleichung $g_{A B}$ und prüfe, ob $C \notin g_{A B}$ ist, d.h. der Punkt $C$ darf nicht auf der Geraden $g_{A B}$ liegen.
$A (1 | - 2 | 2)$ , $B (3 | 0 | 3)$ und $C (- 4 | - 7 | - 0,5)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die Formel für die Geradengleichung lautet:
$\vec{X} = \vec{A} + λ \cdot \vec{A B}$
Der Aufpunkt ist: $\vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
Der Richtungsvektor ist:
$\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
$C (- 4 | - 7 | - 0,5)$ wird in die Geradengleichung eingesetzt:
$\vec{C} = \vec{A} + λ \cdot \vec{A B} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
$- 4 = 1 + λ \cdot 2 \Rightarrow λ = - 2,5$
$- 7 = - 2 + λ \cdot 2 \Rightarrow λ = - 2,5$
$- 0,5 = 2 + λ \cdot 1 \Rightarrow λ = - 2,5$
Aus den drei Gleichungen ergeben sich drei gleiche Werte für $λ$ . Somit liegt der Punkt $C$ auf der Geraden $g_{A B}$ . Daraus folgt, dass es sich hierbei nicht um ein Dreieck handelt.
Die drei Punkte $A, B$ und $C$ bilden dann ein Dreieck, wenn der Punkt $C$ nicht auf der Geraden durch die beiden Punkte $A$ und $B$ liegt. Erstelle die Geradengleichung $g_{A B}$ und prüfe, ob $C \notin g_{A B}$ ist, d.h. der Punkt $C$ darf nicht auf der Geraden $g_{A B}$ liegen.

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