Teil A

Berechnung der Strecke $\overline{DA}$

Du kennst bereits die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$. Außerdem weißt du, dass der Punkt $C$ mit $D$ durch einen Kreisbogen verbunden wird, dessen Mittelpunkt bei $B$ liegt.

Aus diesem Grund, weißt du, dass der Radius des Kreises $r=\overline{BC}=\mathrm{60,0}\text{cm}$ gleich lang ist wie $\overline{BD}$, da auch das der Radius des Kreises ist.

Anschließend kannst du über den Sinussatz den Winkel $\sphericalangle BDA$ berechnen um dann damit über die Innenwinkelsumme des Dreiecks auf den Winkel $\sphericalangle DAB$ zu kommen.

Stelle den Sinussatz für die Seiten $BD$ und $AB$ und die dazugehörigen Winkel auf.

${\displaystyle \frac{\mathrm{60,0}\text{cm}}{\text{sin}({120}^{\circ })}}={\displaystyle \frac{\mathrm{50,0}\text{cm}}{\text{sin}(\sphericalangle BDA)}}$

Stelle diese Gleichung um, sodass du den Winkel $\sphericalangle BDA$ berechnen kannst.

${\displaystyle \frac{\mathrm{60,0}\text{cm}}{\text{sin}({120}^{\circ })}}={\displaystyle \frac{\mathrm{50,0}\text{cm}}{\text{sin}(\sphericalangle BDA)}}|\cdot \text{sin}(\sphericalangle BDA)$

${\displaystyle \frac{\mathrm{60,0}\text{cm}}{\text{sin}({120}^{\circ })}}\cdot \text{sin}(\sphericalangle BDA)=\mathrm{50,0}\text{cm}|\cdot \text{sin}({120}^{\circ })$

$\mathrm{60,0}\text{cm}\cdot \text{sin}(\sphericalangle BDA)=\mathrm{50,0}\text{cm}\cdot \text{sin}({120}^{\circ })|:\mathrm{60,0}\text{cm}$

$\text{sin}(\sphericalangle BDA)={\displaystyle \frac{\mathrm{50,0}\text{cm}}{\mathrm{60,0}\text{cm}}}\cdot \text{sin}({120}^{\circ })|\cdot {\text{sin}}^{-1}(...)$

$\sphericalangle BDA={\text{sin}}^{-1}({\displaystyle \frac{\mathrm{50,0}}{\mathrm{60,0}}}\cdot \text{sin}({120}^{\circ }))={\mathrm{46,2}}^{\circ }$

Berechne nun anhand der Innenwinkelsumme von $ABD$ den Winkel $\sphericalangle ABD$.

Da du nun alle Winkel und die zwei der drei Strecken kennst, kannst du wiederum über den Sinussatz die Seite $\overline{DA}$ berechnen.

Forme diese Gleichung nach der Strecke $\overline{DA}$ um.

Die Strecke $\overline{DA}$ ist $\mathrm{16,5}\text{cm}$ lang.

Benötigte Zeit des Laserschneiders

Der Laserschneider fährt zwei Strecken ab. Einmal die bereits bekannte Strecke $[DA]$ und zum anderen den Kreisbogen von $C$ nach $D$.

Aus diesem Grund musst du zuerst diese Strecke herausfinden.

Dafür benötigst du die Formel für den Kreisbogen.

Addiere die beiden Strecken $CD$ und $\overline{DA}$ um die gesamte Strecke des Laserschneiders zu bekommen.

$CD+\overline{DA}=\mathrm{79,8}\text{cm}+\mathrm{16,5}\text{cm}=\mathrm{96,3}\text{cm}$

Diese Strecke wird vom Laserschneider in der Geschwindigkeit $v=30\frac{\text{cm}}{\text{s}}$ abgefahren. Stelle die Formel für die Geschwindigkeit ($v=\frac{s}{t}$) nach der Zeit um und setze ein!

$v={\displaystyle \frac{s}{t}}|\cdot t|:v$

$t={\displaystyle \frac{s}{v}}$

$t={\displaystyle \frac{\mathrm{96,3}\text{cm}}{30{\displaystyle \frac{\text{cm}}{\text{s}}}}}=\mathrm{3,2}\text{s}$

Der Laserschneider braucht für diese Strecke $\mathrm{3,2}$ Sekunden.