Teil A

Ein $90^{\circ} C$ heißes Getränk wird zur Abkühlung ins Freie gestellt. Nach $x$ Minuten beträgt die Temperatur des Getränks $y^{\circ} C$ . Die Funktion $f$ mit der Gleichung $y = 90 \cdot {0,94}^{x}$ mit $𝔾 = ℝ_{0}^{+} \times ℝ$ beschreibt näherungsweise den Abkühlvorgang in den ersten $20$ Minuten.

Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Ganze gerundet und zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f$ in das Koordinatensystem ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen zeichnen
Zeichnen der Funktion
Die Wertetabelle füllst du aus, indem du die Werte für $x$ in die Funktion $y = 90 \cdot {0,94}^{x}$ einsetzt und den Wert im Taschenrechner berechnest. Anschließend sollst du die Werte noch auf zwei Nachkommastellen runden.
Du solltest auf die folgenden Ergebnisse kommen:
Anschließend zeichnest du für jeden Tabelleneintrag einen Punkt in das Koordinatensystem ein. Die $x$ - und $y$ -Werte kannst du direkt ablesen.
Verbinde diese Punkte anschließend möglichst fließend. Zeichne den Graphen noch ein Stück über den letzten Punkt hinaus!
Geben Sie an, um wie viel Prozent das Getränk pro Minute kälter wird.
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Untersuchung des Wachstumsfaktors
Aus dem Kapitel zu Exponentialfunktionen weißt du, dass $0,94$ der Wachstumsfaktor der Funktion ist. Da dieser $< 1$ ist, liegt eine Abnahme vor. Das kannst du auch an der Abbildung erkennen. Die Dezimalzahl $0,94$ entspricht $94 %$ . Nach $x$ Minuten beträgt die Temperatur also nur noch $94 %$ der Temperatur, die nach $x - 1$ Minuten gemessen wurde. Sie nimmt also um $6 %$ ab.
Ermitteln Sie mithilfe des Graphen zu $f$ , nach wie vielen Minuten die Temperatur des Getränks noch $40^{\circ} C$ beträgt
min

Graphische Lösung
Die Funktion $f (x) = 90 \cdot {0,94}^{x}$ gibt die Temperatur nach $x$ Minuten an. Um die Anzahl an Minuten am Graphen ablesen zu können benötigst du eine Gerade bei $y = 40$ . Dort wo diese deine Funktion $f (x)$ trifft liest du den $x$ -Wert ab. Dieser $x$ -Wert bezeichnet die Anzahl der Minuten.
Der Schnittpunkt hat den $x$ -Wert $13$ . Somit ist die Temperatur des Getränks nach ca. $13 min$ auf $40^{\circ} C$ abgesunken.
Um wie viel Prozent ist die Temperatur des Getränkes nach sechs Minuten insgesamt gesunken? Kreuzen Sie den zutreffenden Wert an.
- $31 %$
- $36 %$
- $41 %$
- $69 %$
Berechnung des Wachstumsfaktors
Da die ${0,94}^{x}$ den Wachstumsfaktor nach $x$ Minuten angibt, reicht es, die $6$ für das $x$ einzusetzen. ${0,94}^{6} \approx 0,69$ . Daraus ergibt sich sofort der Wachstumsfaktor $0,69$ , also eine Abnahme um $31 %$ (siehe Teilaufgabe b). Warum ist dies so? Man könnte die Rechnung auch durchführen $f (6) = 90 \cdot {0,94}^{6} \approx 62,09$ . Nach $6$ Minuten beträgt die Temperatur also etwa ${62,09}^{\circ} C$ . Um den prozentualen Anteil auszurechnen, muss man die übrige Temperatur also durch die Anfangstemperatur teilen. $62,09 / 90 \approx 0,69$ . Man multipliziert also anfangs mit der $90$ , später teilt man wieder durch $90$ , um den Wachstumsfaktor auszurechnen, reicht es also ${0,96}^{6}$ zu berechnen.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Teil A

Zeichnen der Funktion

Untersuchung des Wachstumsfaktors

Graphische Lösung

Berechnung des Wachstumsfaktors